数字电路·模拟之章

为什么叫模拟之章呢？是因为这篇主要是涉及模拟电路的部分。

门电路

CMOS门电路

要研究CMOS门电路，首先要认识MOS器件以及它们的特性。

MOS管的基本概念

MOS管全名叫“结型场效应晶体管”，我们平常见到的有以下四种

注意看：箭头方向决定是N还是P，线的虚实决定是增强还是耗尽。

MOS管的符号也有简化画法，如下：

它们的特性按P、N和增强、耗尽，有所不同：

N沟道的，当\(V_{GS}\)接足够大的正向电压时，\(DS\)之间相当于联通。P沟道的，当\(V_{GS}\)之间接足够大的反向电压，\(DS\)之间相当于导通。
增强型，开启电压为正。以\(N\)沟道为例，当\(V_{GS}>V_{GS(th)}>0\)时，\(DS\)之间才能相当于联通。耗尽型，截止电压为负。以\(N\)沟道为例，只要\(V>V_{GS(off)}\)，其中\(V_{GS(off)}<0\)，\(DS\)之间就能导通，也就是说为了让N沟道耗尽型的DS之间不再导通，\(V_{GS}\)需要一个足够大的负值电压才行。

为了加深对这个特性的理解，我们来分析一下下面这个电路：

约定：\(V_{DD}\)大于两管开启电源绝对值之和。

当\(V_i=0\)（接低电平）时，\(T_1\)P沟道增强型MOS管的\(V_{GS}=-V_{DD}<V_{GS(th)P}\)，于是\(T_1\)两端相当于连通，\(V_o=V_{DD}\)，输出高电平。此时\(T_2\)截止，两端相当于断路。
当\(V_i=V_{DD}\)（接低电平）时，\(T_2\)N沟道增强型MOS管的\(V_{GS}=V_{DD}>V_{GS(th)N}\)，于是\(T_2\)导通，\(V_o\)输出地（0V），此时\(T_1\)截止，两端相当于断路。
综上所述，这是个非门。

经典门电路的MOS管实现

对于CMOS器件构成的门电路，不允许输入端悬空，输入端经电阻接地时和低电平等效，输入端经电阻接电源时和高电平等效。

OD门

OD门全称为漏极开关输出门电路，它的电路长这样：

其逻辑符号为门电路符号里面加一个带下划线的菱形，如下：

OD门要正常工作，必须把输出端经过一个上拉电阻和电源相连。也就是电路详图中的\(R_L\)，这样一来，输出的高电平具体是几伏，就取决于\(V_{DD2}\)而不是\(V_{DD1}\)了。

把多个OD门的输出端直接接在一起，可以构成“线与”逻辑，如下图所示：

这时，有\(Y=Y_1Y_2\)。有时，线与的与门符号省略，直接用圆点表示。

在选取\(R_L\)时，应该注意以下原则：

\(R_L\)不能太大，以保证\(V_{DD}-V_{R_L}\geq V_{OH}\)。在这个条件下，有： \[ R_{\mathrm{L}}\leq\frac{V_{\mathrm{DD}}-V_{\mathrm{OH}}}{n \cdot I_{\mathrm{OH}}+m \cdot I_{\mathrm{IH}}} \] 这里的\(V_{DD}\)当然是\(R_L\)连接的那个电源，其中\(n\)是OD门的数目，\(m\)是下一级输入端的数目（比如说，一个与非门一般有两个输入端），\(I_{OH}\)是OD门截止时的漏电流，\(I_{IH}\)是负载门每个输入端的高电平输入电流
\(R_L\)不能过小，以保证“灌入”的负载电流不大于单只OD门可承受的输入电流。有： \[ R_{\mathrm{L}} \geq \frac{V_{\mathrm{DD}}-V_{\mathrm{OL}}}{I_{\mathrm{OL}(\mathrm{OD})}-m \cdot I_{\mathrm{IL}}} \] \(m\)是下一级输入端的数目。

传输门

其特性为：

\(C\)接高电平而\(\overline{C}\)接低电平，\(V_o=V_i\)，相当于信号直接通过
\(C\)接低电平而\(\overline{C}\)接高电平，相当于中间的电路断开，输出是高阻态。

三态门

三态门是一个正常的门电路外加一个\(EN\)信号，里面画一个倒三角。当\(EN\)为有效信号（上图是低电平有效，也就是\(EN=0\)）时，门电路正常工作，否则，输出高阻态。

TTL门电路

我也不会分析，所以分析略。

这里这个OC门（集电极开路输出的门电路）就和前面那个OD门意思差不多，也有线与，也得算\(R_L\)的范围。不同的是，当输出端含有与非门时，要按与非门的门数计算，而不是端数。

对于TTL门电路，输入端悬空等效于逻辑高电平；输入端经过几十千欧以内的电阻接电源，等效于逻辑高电平；输入端经过几十欧的小电阻接地等效于低电平，当电阻升高到一定程度（一般是几千欧）以后，等效为高电平。

脉冲波形的产生和整形电路

施密特触发器

施密特触发器是脉冲波形变换中的常用电路。它具有以下两个特点：

输入信号本来是低电平，上升的过程中电路状态发生转换时对应的输入电平，和输入信号本来是高电平，下降的过程中电路状态发生转换时对应的输入电平不相等
在电路状态变化的过程中，电路内存在正反馈过程，从而使得电压波形非常陡峭

施密特触发器的电路图如下：

当\(v_1\)从0开始逐渐上升，使得\(v_A=V_{TH}\)时，\(G_1\)门的输出端\(v_{O1}\)下降，变成低电平，于是\(G_2\)门的输出端\(v_O\)抬升，变成高电平。因为对\(v_1-R_1-R_2-v_O\)回路，有 \[ v_A=v_1-(v_1-v_O)\frac{R_1}{R_1+R_2} \] 抬升的\(v_O\)通过电阻\(R_2\)反作用于\(v_A\)，使得\(v_A\)继续上升。于是，\(v_O\)迅速地达到高电平\(V_{DD}\)。

在上述过程中，状态转换发生的瞬间，此时\(v_o\)还是低电平\(0\)，有： \[ v_A=\frac{R_2}{R_1+R_2}V_{T+}=V_{TH} \] 解得 \[ V_{T+}=\left(1+\frac {R_1}{R_2}\right)V_{TH} \] 其中\(V_{T+}\)是施密特触发器上升过程中电路状态转换瞬间对应的输入电平，\(V_{TH}\)是逻辑门高低电平的分界线。

同理，当\(v_1\)从高电平\(V_{DD}\)开始下降，直到\(v_A=V_{TH}\)时，\(G_1\)门的输出端\(v_{O1}\)抬升，变成高电平，于是\(G_2\)门的输出端\(v_{O}\)下降，根据上面的式子，下降的\(v_O\)作用于\(v_A\)形成正反馈，使得\(v_A\)继续下降，于是\(v_O\)迅速地达到0.

同样，有： \[ v_A=V_{T-}-(V_{T-}-V_{DD})\frac{R_1}{R_1+R_2} \] 解得： \[ V_{T-}=\left(1-\frac{R_1}{R_2}\right)V_{TH} \] 其中\(V_{T-}\)是施密特触发器下降过程中电路状态转换瞬间对应的输入电平。

于是，可以得到施密特触发器的电压传输特性：

中间的部分叫做回差电压： \[ \Delta V_T=V_{T+}-V_{T-}=2\frac{R_1}{R_2}V_{TH} \] 如果施密特触发器要正常工作，那么\(R_1<R_2\)，否则会发生互锁。

施密特触发器的电路符号如下：

上面的同相输出，下面的是反相输出。

单稳态电路

单稳态电路具有以下特点：

具有稳态、暂稳态两个不同的工作状态
在外界脉冲的触发下，从稳态进入暂稳态，并在暂稳态停留一段时间后恢复稳态。这段时间的长度只和电路本身的参数有关，和触发脉冲的持续时间，强度无关。

这个工作特性可以类比声控灯，触发脉冲就是声音，无论你拍个手，还是长时间地播放声音，无论声音多大，只要能触发，它一次就亮那么长时间。

微分型单稳态电路

如图，微分型单稳态电路由一些电阻、电容、或非门和非门构成。其前级由\(C_d-R_d\)构成一个微分电路，环路内由\(C-R\)构成一个微分电路。

输入端本来是低电平，当向输入端\(v_I\)加入一个脉冲时，因为\(C_d\)两端电压不可以突变，所以\(v_d\)会被拉高，于是\(R_d\)上产生一个向下的电流，负电荷流向\(C_d\)，\(C_d\)开始充电，\(v_d\)开始下降。总的来说，微分电路\(C_d-R_d\)会产生一个尖刺，就像下图一样：

当\(v_d\)上升达到\(V_{TH}\)时，\(v_{O1}\)会下降的低电平，因为\(C\)两端的电压差不能突变，于是\(v_{I2}\)也跟着下降到低电平，于是\(v_O\)跳变到高电平，电路进入了暂稳态。

这时，\(R\)上产生了向下的电流，正电荷流入\(C\)，电容\(C\)开始充电。随着充电的进行，\(v_{I2}\)逐渐抬升，直到其抬升到\(V_{TH}\)，此时\(v_O\)下降为低电平，低电平反馈回\(G_1\)（因为此时\(v_d\)已经回到低电平），使得\(v_{O1}\)抬升为高电平，进而使得\(v_{I2}\)抬升。此时，电容\(C\)通过电阻\(R\)和门\(G_2\)的输入保护电路向\(V_{DD}\)放电，直至电容上的电压为\(0\)，电路恢复稳态。

全过程的电压波形如下：

我们考察\(R-C\)回路充电的过程。从充电开始到变化到\(V_{TH}\)的耗时为： \[ t=RC\ln \frac{v_c(\infty)-v_c(0)}{v_c(\infty)-V_{TH}} \] 把\(v_c(\infty)=V_{DD}\)带入，有： \[ t_w=RC\ln 2=0.69RC \] 这就是暂稳态持续的时间。

当\(v_o\)恢复稳态后，\(C\)还要经历一个放电的过程。放电的时间为： \[ t_{re}=(3\sim 5)R_{ON}C \] 其中\(R_{ON}\)是\(G_1\)的输出电阻。整个电路两个相邻触发脉冲的最小时间间隔为 \[ t_d=t_w+t_{re} \]

积分型

如图是用与非门、非门、积分电路构成的积分型单稳态电路。

当输入正脉冲时，\(v_{O1}\)变成低电平，但是因为\(C\)两端的电压不能突变，所以\(v_A\)仍然维持在高电平。\(G_2\)的输入端是两个高电平，\(v_O\)输出低电平，电路进入暂稳态。

此时，电容开始放电。随着电容的放电，\(v_A\)不断降低，直到低过\(v_{TH}\)。此时，与非门的其中一个输入变成低电平，\(v_O\)回到高电平。等到输入端的脉冲结束以后，\(v_{O1}\)又变成高电平，给电容充电，经过一段时间以后，电容充满电，电路恢复稳态。

全过程电压波形图如下：

在计算电容放电过程时，有放电等效电路：

放电时，相当于\(R\)和\(R_O\)串联，有： \[ t_=\left(R+R_{\mathrm{O}}\right) C \ln \frac{V_{\mathrm{OL}}-V_{\mathrm{OH}}}{V_{\mathrm{OL}}-V_{\mathrm{TH}}} \] 充电时，有： \[ t_{re}=(3\sim 5)(R+R_O')C \] 整个电路两个相邻触发脉冲的最小时间间隔为： \[ t_d=t_w+t_{re} \]

多谐振荡器

对称式多谐振荡器

对称式多谐振荡器的电路图如下：

那么有人就说了：这也不对称啊？其实，它可以画成这样的形式：

对称式多谐振荡器是没有“稳态”的，\(G_1\)和\(G_2\)被反馈电阻偏置到放大状态。在一开始的“不平衡稳定态”，门工作在转折区，有：\(v_{I1}=v_{O1}=v_{I2}=v_{O2}\)。

现在，因为某些原因，给\(v_{I1}\)上加一个微小的扰动，使其有一个正跳变。那么，\(v_{O1}\)会下降，因为电容\(C_1\)的存在，\(v_{I2}\)跟着一起下降，于是\(v_{O2}\)上升，经过电容\(C_2\)而继续带动\(v_{I1}\)的上升，进入一个正反馈过程，此时电路进入了暂稳态。

需要注意的一点是，在接下来的分析里，我们要明确哪些电压是有外界电源保持的，哪些电压是纯数字（只有两个状态的），哪些电压是没有外界电源保持的，哪些电压是模拟（可以连续变化的）。因为这样才能知道是谁在对谁充电、画波形图时也比较方便。

有外界电源保持的电压，是纯数字的，作为门的输出端口电压出现；没有外界电源保持的电压，是模拟的，作为门的输入端口的形式出现。

对于\(C_1\)，因为\(v_{O2}\)上升而\(v_{I2}\)下降，电流从\(R_{F2}\)流入\(C_1\)，对其进行充电。这时，实际上是\(G_2\)的外接电源通过\(v_{O2}\)，来对\(C_1\)进行充电。此外，流入\(C_1\)的还有门\(G_2\)输入级的电流。因为\(v_{O1}\)是有外界电源保持的，所以充电的效果是：\(v_{I2}\)缓慢抬升。

对于\(C_2\)，因为\(v_{I1}\)上升而\(v_{O1}\)下降，\(C_2\)向电阻\(R_{F1}\)放电。因为一开始给了\(v_{I1}\)的一个向上的微扰，当\(v_{O2}\)反馈回来时，\(v_{I1}>v_{O2}\)，但是\(v_{I1}\)是没有外界电源保持的，因此\(C_2\)会放电，把\(v_{I1}\)放下去。于是，放电的效果就是\(v_{I1}\)缓慢下降。那么有人就问了，既然一开始的所谓“不稳定的平衡态”，这四个电压都一样，\(C_2\)上本来就没有电。那么\(C_2\)放电的“电”来自于何处呢？是来自于\(v_{I1}\)一开始的正跳变后引发的正反馈过程。

电路的充放电回路示意图如下：

接下来，我们详细分析一下充放电过程。

对于\(C_1\):

由戴维南定理，首先把所有电源接地，看进去等效于两个电阻并联，于是有： \[ R_{\mathrm{E} 1}=\frac{R_1 R_{\mathrm{F} 2}}{R_1+R_{\mathrm{F} 2}} \] 接着运用叠加定理，或者说以\(V_{OH2}\)为基准进行分析，得到等效电源： \[ V_{\mathrm{E} 1}=V_{\mathrm{OH}}+\frac{R_{\mathrm{F} 2}}{R_1+R_{\mathrm{F} 2}}\left(V_{\mathrm{CC}}-V_{\mathrm{OH}}-V_{\mathrm{BE}}\right) \] 对于\(C_2\):

因为同时有两个电源伺候\(C_1\)，所以它冲的比较快，\(v_{I2}\)抢先一步达到\(V_{TH}\)，此时\(v_{O2}\)下降为低电平，连带着\(v_{I1}\)一起下降，然后通过\(G_1\)使得\(v_{O_1}\)上升。\(v_{O1}\)的上升又通过电容\(C_1\)传递给\(v_{I2}\)，此时，电路进入第二个暂稳态，\(C_2\)开始充电使得\(v_{I2}\)下降，\(C_1\)开始放电使得\(v_{I_1}\)上升。从开始到\(v_{I2}\)达到\(V_{TH}\)的时间为： \[ T_1=R_{\mathrm{E} 1} C_1 \ln \frac{V_{\mathrm{E} 1}-V_{\mathrm{IK}}}{V_{\mathrm{E} 1}-V_{\mathrm{TH}}} \] 因为还是有两个电源伺候\(C_2\)，所以这次轮到\(v_{I1}\)先上升到\(V_{TH}\)，使得\(v_{O1}\)下降到低电平，因为电容\(C_1\)的存在，\(v_{I2}\)跟着一起下降，于是\(v_{O2}\)上升，经过电容\(C_2\)而继续带动\(v_{I1}\)的上升，又回到了第一个暂稳态。

非对称式多谐振荡器

非对称式多谐振荡器如上图所示，相比于对称式，非对称式少了一个电容、一个反馈电阻，多了一个\(R_p\)的\(G_1\)输入端保护电阻。静态时，\(G_1,G_2\)工作在电压传输特性图的中点（转折区），即\(v_{I1}=v_{O1}=v_{I2}=v_{O2}=V_{DD}/2\)。其中\(v_{O1}\equiv v_{I2}\)和\(v_{O}\)是有外界电源保持的数字信号，而\(v_{I1}\)是没有外界电源保持的模拟信号。

由于某种扰动，使得\(v_{I1}\)上升，那么\(v_{O1}\)下降，\(v_{O2}\)上升，通过电容\(C\)反过来作用到\(v_{I1}\)使其继续上升，进入了正反馈过程。当\(v_{O2}\)提升到高电平\(V_{DD}\)，\(v_{I1}\)提升到\(V_{TH}+V_{DD}\)时，电路进入第一个暂稳态。

在第一个暂稳态，电容\(C\)经过\(R_F\)把电放到\(G_1\)门的地中，放电回路如下：

因为\(R_F\)远大于\(R_{ON}\)，有： \[ t=R C \ln \frac{v_R(\infty)-v_R(0)}{v_R(\infty)-v_R(t)} \] 由终了态电容等效于断路，得\(v_R(\infty)=0\)，第一暂稳态将在\(v_R=V_{TH}\)时发生改变，得： \[ \begin{aligned} T_1 & \approx R_{\mathrm{F}} C \ln \frac{0-\left(V_{\mathrm{TH}}+V_{\mathrm{DD}}\right)}{0-V_{\mathrm{TH}}} \\ & =R_{\mathrm{F}} C \ln 3 \end{aligned} \] 当\(v_{I1}=v_R(t)\)下降到\(V_{TH}\)时，\(v_{O1}\)拉高，\(v_{O2}\)降低，反过来作用于\(v_{I1}\)使得它继续下降，\(v_{I1}\)下降到\(V_{TH}-V_{DD}\)时，电路进入第二暂稳态。为什么之前对称的多谐振荡器只能下降到\(V_{IK}\)，而这里却能下降到\(V_{TH}-V_{DD}\)呢？是因为有\(R_p\)的存在.

这时，电容\(C\)进行充电，\(v_{I1}\)开始上升，充电回路如下：

计算充电时间，有： \[ \begin{aligned} T_2 & \approx R_{\mathrm{F}} C \ln \frac{V_{\mathrm{DD}}-\left(V_{\mathrm{TH}}-V_{\mathrm{DD}}\right)}{V_{\mathrm{DD}}-V_{\mathrm{TH}}} \\ & =R_{\mathrm{F}} C \ln 3 \end{aligned} \] 当电容冲电，\(v_{I1}\)上升到\(V_{TH}\)后，电路又会回到第一暂稳态，如此循环，于是，一个循环的周期是： \[ T=T_1+T_2=R_FC\cdot 2\ln 3 \]

环形振荡电路

上图是基本环形振荡电路，由3个非门首尾相连构成，利用非门之间的传输延时\(t_{pd}\)来进行振荡，它的周期是 \[ T=2nt_{pd} \] 但是这个周期太短了，而且不可控，于是可以通过加阻容的方式增大这个延时：

当\(v_{I2}\)发生负跳变时，这个负跳变由电容\(C\)传递到\(v_{I3}\)，使得\(v_{I3}\)也被下拉。但是\(G_2\)的输出口上呈现出高电平，于是电容开始充电直到达到\(V_{TH}\)。电容的充电回路如下：

主要是由\(V_{OH2}\)和\(G_3\)的外接电源\(V_{CC}\)来对\(C\)进行充电的。有： \[ R_E=\frac{R(R_1+R_s)}{R+R_1+R_s} \]

\[ V_E=V_{OH}+(V_{CC}-V_{BE}-V_{OH})\frac{R}{R+R_1+R_s} \]

因此，从\(v_{I3}=V_{TH}-V_{OH}+V_{OL}\)充电到\(V_{TH}\)的时间为： \[ T_1=R_{\mathrm{E}} C \ln \frac{V_{\mathrm{E}}-\left[V_{\mathrm{TH}}-\left(V_{\mathrm{OH}}-V_{\mathrm{OL}}\right)\right]}{V_{\mathrm{E}}-V_{\mathrm{TH}}} \] \(v_{I3}\)达到\(V_{TH}\)以后，引发\(G_3\)输出端\(v_{O},v_{I1}\)跳变到低电平，\(v_{I2}\)跳变到高电平，进一步拉高\(v_{I3}\)到\(V_{TH}+V_{OH}-V_{OL}\)，然后\(C\)开始放电，放电回路如下：

放电时间为： \[ T_2=R C \ln \frac{V_{\mathrm{OL}}-\left[V_{\mathrm{TH}}+\left(V_{\mathrm{OH}}-V_{\mathrm{OL}}\right)\right]}{V_{\mathrm{OL}}-V_{\mathrm{TH}}} \] 充放电时间之和即为振荡周期，有： \[ T=T_1+T_2 \approx R C \ln \left(\frac{2 V_{\mathrm{OH}}-V_{\mathrm{TH}}}{V_{\mathrm{OH}}-V_{\mathrm{TH}}} \cdot \frac{V_{\mathrm{OH}}+V_{\mathrm{TH}}}{V_{\mathrm{TH}}}\right) \] 这里约等于的条件是\(R_1+R_s>>R,V_{OL}=0\)，进而\(V_E=V_{OH},R_E=R\)

施密特触发器多谐振荡器

其原理是让电压在施密特触发器的滞回线\(V_{T+},V_{T-}\)之间来回摆动，在输出端得到矩形波，

基本电路

一开始，\(v_I=0\)，输出\(v_O\)是高电平，通过\(R\)向\(C\)充电。设\(V_{OH}=V_{DD},V_{OL}=0\)，充电时间为： \[ T_0=RC\ln \frac{V_{DD}}{V_{DD-V_{T+}}} \] 达到\(V_{T+}\)后，\(v_{O}\)转化为低电平，\(C\)开始放电，放电时间为： \[ T_2=RC\ln \frac{V_{T+}}{V_{T-}} \] 放到\(V_{T-}\)后，\(v_O\)再次变成高电平，\(C\)又开始充电，有： \[ T_1=R C \ln \left(\frac{V_{\mathrm{DD}}-V_{\mathrm{T}-}}{V_{\mathrm{DD}}-V_{\mathrm{T}+}}\right) \] 系统周期振荡的周期为 \[ T=T_1+T_2 \] 占空比为 \[ p=\frac {T_1}{T} \] 于是，只要我们通过两个二极管，使得电容充放电时的时间常数不同，就能控制占空比了，改进电路如下：