数字电路·逻辑之章
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你说得对，但是《数字电子技术基础》是电子信息工程学院独立开设的一门核心专业课，课程发生在一个被称作五（203）的幻想世界，在这里，被神选中的信号将被授予“门电路”，导引高低电平之力。玩家将扮演一位名为“学生”的神秘角色，在自由的课程中邂逅性格各异、能力独特的元件们，和他们一起分析逻辑，找回失散的导线——同时，逐步发掘“Verilog”的真相。
数制和码制
数制
数制指的是数字每一位的构成方法，以及从低位到高位的进位规则。常用的数制有十进制、二进制、八进制、十六进制。
k进制数字的基本表示方式为： \[ (\cdots x_2x_1x_0.x_{-1}x_{-2}\cdots)_k=\sum_{i=-\infty}^{\infty}x_i\times k^i \]
不同数制的转换方式
任意进制到十进制的转换
直接按上面的式子展开即可。
【例】\((8FA.C)_{16}=8\times 16^2+F\times16^1+A\times16^0+C\times16^{-1}=(2298.75)_{10}\)
十-二转换
整数部分用除二取余法，小数部分用乘二取整法。这成天写，我不展开了，忘了就随便拿个什么11啊这种数字推一下。
二-十六（八）转换
分组对应法最快。
不同进制下四则运算的规则和方法和十进制一致。
原码、反码和补码
原码
最高位（最左边的一位）表示正负号，0为+，1为-，其余各位表示数的绝对值。
表示范围为\(-(2^{n-1}-1)\sim (2^{n-1}-1)\)，0的表示不唯一
反码
正数和原码的规则一样，有符号位和绝对值；负数是它的相反数整体（含符号位）取反，当然也可以理解成，负数的符号位是1，绝对值按位取反。
表示范围为\(-(2^{n-1}-1)\sim (2^{n-1}-1)\)，0的表示不唯一
补码
正数和原码的规则一样；负数为“反码加一”，即符号位为1，绝对值按位取反，再加一。
表示范围为\(-(2^{n-1})\sim (2^{n-1}-1)\)，0的表示唯一。
补码加减法运算，符号位参与运算，而且应该在相应位数表示的数值范围内进行，进位直接丢弃。
【例】利用补码加法计算39-22
【解】\((39)_{10}=(0|010\ 0111)_{2},(-22)_{10}=(1|110\ 1010)_2\)，两个二进制数相加后为\((1\ 0001\ 0001)_2\)，舍弃溢出位，得结果为\((0|001\ 0001)_2=(17)_{10}\)
补码的运算有模的特性。
码制
BCD码
BCD码，即二-十进制代码，它是用二进制代码表示十进制数码的编码方法，也就是0~9这十个符号的二进制编码。分为恒权码和变权码等。
例如：8421码，就是从高位到低位的权依次是8421（和普通二进制一样），它的有效编码是00001001，分别代表09，其它的是非法码。
还有其他的编码，比如2421码、余3码、余3循环码等。
格雷码
格雷码的特性如下：
- 单位距离：相邻码字仅有一个位元不同，其它位都相同。
- 循环相邻：对于n位循环码，如果从第0个码字开始，最大范围是第\((2^n-1)\)个码字，而对\((2^n-1)\)的编码一定是\(( 2^ {n-1})\)的自然二进制码。
- 镜像反射
逻辑代数
逻辑运算的大部分知识已经在“离散数学”课程中讲过了，这里仅进行补充。这里“\(\cdot\)”表示与，"\(+\)"表示或，\(\overline{X}\)表示非，\(\oplus\)表示异或，\(\odot\)表示异或。
逻辑函数的两种标准形式
两种标准形式就是指标准与或表达式（也叫最小项之和，主析取范式），和标准或与表达式（也叫最大项之积，主合取范式）。
标准与或表达式
形如下列式子的形式： \[ \begin{align} Y&=AB\overline{C}+ABC+\overline{A}BC\\ &=m_{3}+m_{6}+m_{7}\\ &=\sum m(3,6,7) \end{align} \] 这三个形式都是标准与或表达式。\(m\)下面的下标由对应的最小项确定（没有取反的项记为1，有取反的项记为1，构成一个二进制串，转换为十进制即可）。
标准或与表达式
形如下面的式子： \[ \begin{align} Y&=(A+B+C)(A+B+\overline{C})(\overline{A}+B+C)\\ &=M_0M_1M_4\\ &=\prod M(0,1,4) \end{align} \] 和上面的一样，不赘述了。
逻辑化简
公式法略。
卡诺图法
卡诺图法是一种从真值表出发得到最简与或表达式的方法。使用卡诺图的步骤如下：
先记住这几个标准格式
其实很好记的，横纵坐标就是格雷码的顺序，这也是为了利用单位距离性。
在逻辑函数为真的格子上填1，逻辑函数为假的格子填0
画卡诺圈（乘积项），合并最小项（1），反复利用互补律化简。卡诺圈的形状可以是日字形，田字形，而且有循环边界条件。
互补律：\(A\overline{A}=0,A+\overline{A}=1\)
画卡诺圈时应该遵循以下原则：
- “1”格不能漏圈
- “1”格可以属于一个以上的圈
- 圈越大越好
- 圈越少越好
- 每个圈应该包含至少一个新的“1”格
无关项
有时候，输入逻辑变量的某些取值组合禁止出现，这种叫做“约束项”。有时候，一些取值组合出现时，输出逻辑值可以是任意的，这种叫做“任意项”。以上两个统称为无关项。在化简时，把无关项用X表示，在画卡诺圈时，X既可以被当作1，也可以被当作0，具体看你需要。
逻辑函数形式的转换
除了我们前面说的最简与或式以外，还有一些常用的形式。
最简或与式
在画出\(Y\)的卡诺图后，合并\(0\)方格，求反函数的最简与或表达式，然后使用德摩根公式进行反演变换，得到原函数的最简或与表达式
德摩根公式： \[ \overline{AB}=\overline{A}+\overline{B},\overline{A+B}=\overline{A}\cdot\overline{B} \]
【例】已知Y的反函数，求Y的最简或与式。 \[ \overline{Y}=AB+CD+B\overline{D} \] 【解】 \[ \begin{align} Y&=\overline{AB}\cdot\overline{CD}\cdot\overline{B\overline{D}}\\ &=(\overline{A}+\overline{B})(\overline{C}+\overline{D})(\overline{B}+{D}) \end{align} \]
或非-或非式
先求出最简或与式，对最简或与式求两次反，再对内侧（下面）的反用一次德摩根公式展开。
【例】 \[ \overline{\overline{(A+B)(\overline{A}+C)}}\to \overline{\overline{A+B}+\overline{\overline{A}+C}} \]
也可以在求出反函数的最简与或表达式的时候，直接对反函数两端求反，再对各个乘积项用德摩根公式
【例】 \[ \begin{align} &\overline Y=\overline A\cdot \overline B+A\overline C\\ &\to Y=\overline{\overline A\cdot \overline B+A\overline C}\\ &\to Y=\overline{\overline{A+B}+\overline{\overline A+C}} \end{align} \]
与非-与非式
把与或表达式两次取反，再用德摩根公式即可。
【例】 \[ \begin{aligned} Y &={A C+\overline{A} B} \\ &=\overline{\overline{A C+\overline{A} B}} \\ &=\overline{\overline{A \cdot C} \cdot \overline{\overline{A} \cdot B}} \end{aligned} \]
与或非式
先求反函数的最简与或表达式，再求反。
【例】 \[ \begin{align} Y&=A C+\overline{A} B \\ \overline{Y}&=\overline{A} \cdot \overline{B}+A \cdot \overline{C} \\ Y&=\overline{\overline{A} \cdot \overline{B}+A \cdot \overline{C}} \end{align} \]