微波技术·波之章
你说得对，但是《微波技术》是电子信息工程学院独立开设的一门核心专业课，课程发生在一个被称作五（303）的幻想世界，在这里，被神选中的信号将被授予“波导”，导引电磁波。玩家将扮演一位名为“传输线”的神秘角色，在自由的课程中邂逅性格各异、能力独特的圆图们，和他们一起分析阻抗，找回失散的能量——同时，逐步发掘“Black Magic”的真相。
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传输线理论
微波的工作频率为\(300MHz\sim 3000GHz\)，对应的自由空间中的波长为\(1m\sim 0.1mm\)，在这种条件下，日常尺度的导线以及具备很多异于理想导线的性质，被称作“长线”或者“传输线”，理想导线则被称作“短线”。具体来说，当系统的电长度\(l/\lambda \geq0.05\)时，就要用传输线理论来分析问题，这种导线就被称作长线。
传输线方程
对于传输线上的一个微元\(dz\)，有其等效集总参数模型：
其中\(R_0\)叫分布电阻，\(L_0\)叫分布电感，\(G_0\)叫分布电导，\(C_0\)叫分布电容。理想导体的\(R_0=0\)，理想介质的\(G_0=0\)。
根据基尔霍夫定律列出方程，转换为复频域形式，则有我们所说的传输线方程，也叫频域电报方程 \[ \begin{aligned} &\frac{\mathrm{d} \dot{U}(z)}{\mathrm{d} z}=-\left(R_0+j \omega L_0\right) \dot{I}(z)=-Z \dot{I}(z) \\ &\frac{\mathrm{d} \dot{I}(z)}{\mathrm{d} z}=-\left(G_0+\mathrm{j} \omega C_0\right) \dot{U}(z)=-Y \dot{U}(z) \end{aligned} \] 其中\(Z=(R_0+j\omega L_0)\)叫单位长度串联阻抗、\(Y=(G_0+j\omega C_0)\)叫单位长度并联导纳。把上面两个式子对\(z\)求导，再代换，有： \[ \begin{aligned} &\frac{\mathrm{d}^2 \dot{U}(z)}{\mathrm{dz} z^2}-\gamma^2 \dot{U}(z)=0 \\ &\frac{\mathrm{d}^2 \dot{I}(z)}{\mathrm{d} z^2}-\gamma^2 \dot{l}(z)=0 \end{aligned} \] 其中 \[ \gamma=\sqrt{Z Y}=\sqrt{\left(R_0+\mathrm{j} \omega L_0\right)\left(G_0+\mathrm{j} \omega C_0\right)}=\alpha+\mathrm{j} \beta \] 叫做传播常数，是一个取决于传输线物理性质的常数。于是，可以解出传输线方程的通解： \[ \dot{U}(z)=A_1 \mathrm{e}^{-\gamma z}+A_2 \mathrm{e}^{\gamma z} \]
\[ I(z)=-\frac 1Z\frac{ \mathrm{~d} \dot{U}(z)}{ \mathrm{~d} z}=\frac{\gamma}{Z}\left(A_1 \mathrm{e}^{-\gamma z}-A_2 \mathrm{e}^{\gamma z}\right)=\frac{1}{Z_0}\left(A_1 \mathrm{e}^{-\gamma z}-A_2 \mathrm{e}^{\gamma z}\right) \]
其中\(Z_0\)叫做传输线特性阻抗，有： \[ Z_0=\frac{Z}{\gamma}=\sqrt{\frac{Z}{Y}}=\sqrt{\frac{R_0+\mathrm{j} \omega L_0}{G_0+\mathrm{j} \omega C_0}} \] \(A_1,A_2\)是待定常数，要根据端口条件来确定。
终端条件
即已知终端\(\dot{U}_2,\dot{I}_2\)。则有： \[ \left\{\begin{array}{l} A_1=\frac{1}{2}\left(\dot{U}_2+Z_0 \dot{I}_2\right) \\ A_2=\frac{1}{2}\left(\dot{U}_2-Z_0 \dot{I}_2\right) \end{array}\right. \]
始端条件
即已知\(\dot{U}_1,\dot{I}_1\)。则有： \[ \left\{\begin{array}{l} A_1=\frac{1}{2}\left(\dot{U}_1+Z_0 \dot{I}_1\right) \\ A_2=\frac{1}{2}\left(\dot{U}_1-Z_0 \dot{I}_1\right) \end{array}\right. \]
波源阻抗条件
即已知\(\dot{E}_g,Z_g,Z_L\)，有： \[ \left\{\begin{array}{l} A_1=\frac{Z_0 \dot{E}_{\mathrm{g}} \mathrm{e}^{-\gamma l}}{Z_{\mathrm{g}}+Z_0} \\ A_2=\frac{Z_0 \dot{E}_{\mathrm{g}} \mathrm{e}^{-\gamma l}}{Z_{\mathrm{g}}+Z_0} \Gamma_{\mathrm{L}} \end{array}\right. \]
传输线上的参量
一次特征参量
\(R_0\)分布电阻，\(L_0\)分布电感，\(G_0\)分布电导，\(C_0\)分布电容
二次特征参量
二次特征参量也叫传播特性参量，其中最主要的就是传播常数\(\gamma\)和特征阻抗\(Z_0\)，具体的计算式已经在上面给出了。还有一些其它的特征参量，可以由上面的导出。
衰减常数和相位常数
若\(\gamma=\alpha+j\beta\)，那么\(\alpha\)叫做衰减常数，表示经过单位长度行波幅度衰减\(e^{-\alpha}\)，\(\beta\)叫做相位常数，表示单位长度行波滞后的幅度。对于无耗传输线，有： \[ \left\{\begin{array}{l} \gamma=\mathrm{j} \omega \sqrt{L_0 C_0} \\ \alpha=0 \\ \beta=\omega \sqrt{L_0 C_0} \end{array}\right. \]
相速度和相波长
相速度就是等相位面移动的速度，相波长就是等相位面在一个周期内移动的距离。有： \[ v_p=\frac \omega \beta \]
\[ \lambda_p=\frac{2\pi}\beta \]
对于均匀无耗传输线，有： \[ v_p=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r\mu_r}} \]
\[ \lambda_p=\frac{\lambda_0}{\sqrt{\varepsilon_r\mu_r}} \]
特性阻抗
特性阻抗具有如下特点：
- 同一时刻，传输线上行波电压不同，但是传输线上各点的入射波电压和入射波之比是一个定值，这个值就是特性阻抗
- 传输线特性阻抗仅取决于传输线的结构，和其长度无关
- 特性阻抗描述入射（或反射）波电压和电流的幅度相位关系。
工作状态参量
反射系数
定义电压反射系数： \[ \Gamma_U(z)=\frac{\dot U_r(z)}{\dot U_i(z)} \] 电流反射系数可类似定义，但我们一般都用电压反射系数。
对于无耗传输线，有： \[ \Gamma_{U}(z)=\frac{A_2}{A_1} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \beta z} \] 若终端负载处反射系数为\(\Gamma_2\)，则有： \[ \Gamma(z)=\Gamma_2 \mathrm{e}^{-j 2 \beta z}=\left|\Gamma_2\right| \mathrm{e}^{\mathrm{j}\left(\phi_2-2 \beta_2\right)}=\left|\Gamma_2\right| \mathrm{e}^{\mathrm{j} \phi} \] 其中\(\phi_2\)是\(\Gamma_2\)的相角。
输入阻抗
输入阻抗是传输线上任何一点的总电压和总电流的比，即： \[ Z_{\mathrm{in}}(z)=\frac{\dot{U}(z)}{\dot{I}(z)} \] 输入阻抗和线上反射系数可以互相转化： \[ Z_{in}(z)=Z_0 \frac{1+\Gamma(z)}{1-\Gamma(z)} \]
\[ \Gamma(z)=\frac{Z_{\mathrm{in}}(z)-Z_0}{Z_{\mathrm{in}}(z)+Z_0} \]
需要提醒：上面两个式子对终端也适用，也就是说如果终端直接接入阻抗\(Z_L\)，是可以直接计算终端反射系数\(\Gamma_2\)的。进一步，有： \[ Z_{\mathrm{in}}(z)=Z_0 \frac{1+\Gamma_2 \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \beta z}}{1-\Gamma_2 \mathrm{e}^{-j 2 \beta z}}=Z_0 \frac{Z_{\mathrm{L}}+\mathrm{j} Z_0 \tan \beta z}{Z_0+\mathrm{j} Z_{\mathrm{L}} \tan \beta z} \] 当然，我感觉这个用史密斯圆图更好算。
驻波参量
当\(Z_L=Z_0\)时，称传输线阻抗匹配，否则称传输线失配。我们用驻波参量来衡量失配程度。
驻波比SWR（\(\rho\)）
驻波比的定义是沿线电压最大值和最小值之比，它和反射系数是一一对应的。对于无耗传输线，有： \[ \begin{gathered} \rho=\frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}=\frac{1+\left|\Gamma_2\right|}{1-\left|\Gamma_2\right|} \\ |\Gamma|=\left|\Gamma_2\right|=\frac{\rho-1}{\rho+1} \end{gathered} \] 当完全匹配时，驻波比为1，沿线电压最大值和最小值相等，\(\Gamma_2=0\)。
行波系数\(K\)
就是驻波比的倒数。
驻波相位\(l_{min}\)
离终端最近的电压波节点到终端的距离
无耗传输线上的波有三种传输模式：
- \(Z_L=Z_0\)，此时阻抗匹配，波形是行波
- \(Z_L\) 开路、短路或是纯虚数，此时传输线处于全反射状态，波形是纯驻波。
- 其它情况，传输线处于部分反射状态，波形是行驻波。
史密斯圆图
归一化阻抗和导纳
定义归一化阻抗： \[ \bar{Z}_L=\frac{Z_L}{Z_0} \] 则有： \[ \bar{Z}_{\mathrm{in}}(z)=\frac{\bar{Z}_{\mathrm{L}}+\mathrm{j} \tan \beta z}{1+\mathrm{j} \bar{Z}_L \tan \beta z} \] 再定义归一化电标度（电尺寸）： \[ \bar{z}=\frac z\lambda \] 则有： \[ \bar{Z}_{\mathrm{in}}(\bar{z})=\frac{\bar{Z}_{\mathrm{L}}+\mathrm{j} \tan 2 \pi \bar{z}}{1+\mathrm{j} \bar{Z}_{\mathrm{L}} \tan 2 \pi \bar{z}} \] 表达式中不再包含和传输线结构有关的参量，于是此表达式可以适用于任意传输线的分析。
由阻抗和反射系数的一对一转换关系： \[ \Gamma(\bar{z})=\frac{\bar{Z}_{\mathrm{in}}(\bar{z})-1}{\bar{Z}_{\mathrm{in}}(\bar{z})+1} \] #### 阻抗圆图
把\(Z\)平面转换到\(\Gamma\)平面，可得阻抗圆图：
图中有三个关键点：
- 匹配点：\(\Gamma (0,0)\)点，对应\(Z(1,0)\)点，此时有\(Z_L=Z_0\)，传输线匹配，驻波比为1
- 开路点：\(\Gamma(1,0)\)点，对应\(Z(\infty,\infty)\)点，此时\(Z_L=\infty\)，传输线处于开路状态，驻波比无穷大
- 短路点：\(\Gamma(-1,0)\)点，对应\(Z(0,0)\)点，此时\(Z_L=0\)，传输线短路，驻波比无穷大
三个圆：
等电抗圆：指的是圆心在直线\(x=1\)上的那些圆，在一个等点抗圆上的点有相等的电抗。在上半平面的电抗大于零，叫做感性；在下半平面的电抗小于零，叫做容性。其圆心在\((1,1/\bar X)\)，半径为\(|1/\bar X|\)。\(X\)越小，等电抗圆越大。当\(X=0\)时变成横轴，当\(X\to \infty\)时变成开路点。
等电阻圆：指的是圆心在实轴（横轴）上的那些圆，在一个等电阻圆上的点有相等的电阻。其圆心为\((\bar R/(\bar R+1),0)\)，半径为\(1/(\bar R+1)\)。\(R\)越小，等电阻圆越大。
等反射系数圆（也叫等驻波比圆）：指的是圆心在\(\Gamma (0,0)\)的圆。圆的半径和反射系数以及驻波比有一一对应关系。当反射系数为正实数（即在实轴正半轴）时，对应电压波腹点，于是实轴正半轴叫做电压波腹线；同理，实轴负半轴叫做电压波节线。
当在传输线上移动\(\Delta z=\lambda/2\)时，对应沿等反射系数圆旋转一圈，方向为“源顺负逆”。
于是，在圆图中任意确定一个点，总能找到一个等电抗圆和一个等电阻圆与之对应，这样一来，我们就能读出这个点的阻抗。要确定传输线上其它点的阻抗，只需要按照源顺负逆的规则，在等反射系数圆上进行移动即可。
导纳圆图
把阻抗圆图以圆心为中心旋转180度就是导纳圆图。在阻抗圆图中确定一点，绕等反射系数圆旋转180度，反射系数变为\(-\Gamma\)。则\(-\Gamma\)处在阻抗圆图中读出的归一化阻抗值就是原位置\(\Gamma\)处的导纳值。
旋转时，波节线、波腹线、短路点、开路点随之旋转。但是“源顺负逆”的准则不变。
在导纳圆图上确定归一化导纳时，有关系： \[ \bar Y=Y\cdot Z_0 \]
阻抗匹配技术
阻抗匹配包含两种含义，其一是信号源的匹配，即想办法从信号源中获得最大的功率并消除信号源的反射；其二是负载的匹配，即想办法消除反射。阻抗匹配有三种：信号源阻抗匹配，负载阻抗匹配，共轭阻抗匹配。其重要性有：
负载匹配时功率最大，功率损耗最小
阻抗匹配可以改善系统信噪比
功率分配网络中的阻抗匹配可以吉昂蒂幅度和相位的误差
保持信号源工作稳定性
提高传输线 的功率容量 \[ P_{br}=\frac 12\frac{U^2_{br}}{Z_0}K \]
\(\lambda/4\)匹配
是一段特征阻抗为\(Z_{01}\)，长度为\(\lambda/4\)的传输线。如果这段传输线末端接\(R_L\)阻抗，那么可以计算出，这部分的输入阻抗为： \[ Z_{in}=\frac{Z_{01}^2}{R_L}=Z_0 \]
推导过程：由公式 \[ Z_{\mathrm{in}}(z)=Z_0 \frac{1+\Gamma_2 \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \beta z}}{1-\Gamma_2 \mathrm{e}^{-j 2 \beta z}}=Z_0 \frac{Z_{\mathrm{L}}+\mathrm{j} Z_0 \tan \beta z}{Z_0+\mathrm{j} Z_{\mathrm{L}} \tan \beta z} \] 把\(\beta z=2\pi/4=\pi/2\)代入，得\(\tan \beta z=\infty\)，此时可以把\(Z_L,Z_0\)项略去，并把\(j\tan \beta z\)项约分掉，就得： \[ Z_{in}=\frac{Z_0^2}{Z_L} \]
这个结论也叫“\(\lambda/4\)传输线阻抗变换特性”，需要记住。
得 \[ Z_{01}=\sqrt{Z_0R_L} \] 如果负载不是纯电阻，那么可以把匹配器接在电压波腹点\(l_{max}\)或电压波节点\(l_{min}\)。此时，匹配的目的是要把输入阻抗变成纯电阻。匹配时，首先确定负载所在的等反射系数（等驻波比）圆，然后在这个圆上确定波节点/波腹点，读出对应的电阻值。负载的点和波节/波腹点的电标度的差决定了\(\lambda/4\)传输线的位置（这个位置指的是从负载到\(\lambda/4\)传输线最近的边缘的距离），在这里放置\(\lambda/4\)传输线，其到负载之间的部分（负载+原传输线）等效为纯阻。然后，再把这个纯阻（刚刚读出来的）带入前面的方程中，计算\(\lambda/4\)传输线所需的阻抗。
单支节匹配
单支节匹配是在传输线上并联一根传输线枝节，通过调节枝节的位置\(d\)和长度\(l\)，抵消阻抗的虚部，从而实现匹配。其步骤为：
在史密斯圆图上画出归一化负载阻抗\(\bar Z_L\)的位置，把它旋转180度，画出归一化负载导纳\(\bar Y_L\)的位置，把导纳的位置记作\(A\)，电标度为\(\bar l_A\)
首先来求\(d\)：从\(A\)点开始，沿着等反射系数圆顺时针旋转，直到和可匹配圆（\(\bar G=1\)）相交，交点记作\(C\)，对应导纳\(\bar Y_1=1+j\bar B\)，则在此位置并联\(\bar Y_2=-jB\)的电纳即可实现匹配。设\(C\)点的电标度为\(\bar l_C\)，则有： \[ d=(\bar l_C-\bar l_A)\lambda \]
接下来求\(l\)：找到短路点（圆图右侧端点）位置，其电标度为0.25.从短路点开始，顺时针沿着全反射圆移动到电纳值为\(-\bar B\)的地方，记作\(E\)点。\(E\)点的电标度为\(\bar l_E\)，则有： \[ l=(\bar l_E-0.25)\lambda \]
以上过程可由如下图示描述，不同颜色表示不同的步骤：
双支节匹配
在单支节匹配中，我们移动枝节的位置，来寻找归一化电导值为1的参考面。那么有没有别的办法得到这个面呢？有：我们在枝节和负载中间附加一个纯电纳即可。
如图所示，这两个枝节的位置是固定的，我们首先要调节\(l_1\)的长度，让\(2\)号支节所在的参考面的归一化电导值为1，然后再调节\(l_2\)的长度，以达到匹配效果。
以下，记：
| 名称 | 含义 | 备注 |
|---|---|---|
| \(\bar Y_1\) | \(d_1\)段传输线（含负载）归一化输入导纳 | |
| \(\bar Y_2\) | \(1\)号支节始端归一化输入导纳 | 纯纳 |
| \(\bar Y_3\) | \(d_2\)段传输线始端归一化输入导纳 | 在可匹配圆上 |
| \(\bar Y_4\) | \(2\)号支节始端归一化输入导纳 | 纯纳 |
| \(\bar Y_B\) | 整个系统最前端等效负载归一化导纳 | \(Y_B=Y_3+Y_4\) |
| \(\bar Y_A\) | \(d_2\)段传输线终端等效负载归一化导纳 | \(Y_A=Y_1+Y_2\) |
于是，我们知道：\(Y_3\)在可匹配圆上，由于\(d_2\)传输线会对于每个\(Y_3\)对应的点有一个绕着圆心旋转的作用，所以我们把可匹配圆也绕着圆心旋转\(\bar d_2=d_2/\lambda\)，称作“辅助圆”。双支节匹配的过程是：
把可匹配圆绕着单位圆的圆心旋转\(\bar d_2=d_2/\lambda\)，画出辅助圆（深绿色）
确定\(\bar Z_L,\bar Y_L\)位置（鲜红色）
从\(\bar Y_L\)开始，沿其所在的等反射系数圆顺时针旋转\(\bar d_1\)，得到\(\bar Y_1\)（橙色）
因为\(\bar Y_2\)是纯纳，所以\(\bar Y_A\)和\(\bar Y_1\)在一个等电导圆上。画出\(Y_1\)所在的等电导圆\(G=G_1\)，这个等电导圆和辅助圆的交点就是\(\bar Y_A\)。由\(\bar Y_2=\bar Y_A-\bar Y_1\)计算出\(\bar Y_2\)，绘制\(\bar Y_2\)，读出\(\bar l_2\)的电标度，有（鲜绿色）： \[ \bar l_1=(\bar l_{Y_2}-0.25) \]
画出\(\bar Y_A\)所在的等反射系数圆，交可匹配圆\(G=1\)于\(\bar Y_3\)点。读出\(\bar Y_3=1+j\bar B_3\).（蓝色）
画出\(\bar Y_4=-jB_3\)，有（紫色）： \[ \bar l_2=(\bar l_{Y_4}-0.25) \]
波导理论
导行波的传播特性
导行波的场量都有因子\(e^{-\gamma z}\)，其中\(\gamma=\alpha+j\beta\)。由麦克斯韦方程和边界条件推导（意思就是我也不想推导）可知： \[ \gamma=k^2_c-k^2 \] 其中\(k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}\)为电磁波在无限媒质中的波数，它由波的频率和传播介质决定。\(k_c\)叫波导的截止波数，它由波导系统横截面的边界条件决定，这两个“波数”都是实数。于是，随着频率的不同，\(\gamma\)有以下三种情况：
- \(\gamma^2<0\)，此时有\(\gamma=j\beta\)，因为场量不随着距离增长而衰减，称为传输状态。
- \(\gamma^2>0\)，此时有\(\gamma=\alpha\)，此时场量随着距离增长而指数衰减，称为截止状态。
- \(\gamma^2=0\)，这个叫临界状态，分析时认为不属于传输状态，波不能传输。
既然有了“截止波数”\(k_c\)的定义，我们也可以顺势定义出截止频率、截止波长：
截止频率\(f_c\) \[ f_c=\frac{k_c}{2\pi\sqrt{\mu\varepsilon}} \]
截止波长\(\lambda_c\) \[ \lambda_c=\frac{v}{f_c}=\frac{2\pi}{k_c} \] 其中\(v\)是理想介质[1]中的光速。
于是，导波系统传输TE波或TM波的条件是： \[ f>f_c\ \text{or}\ \lambda<\lambda_c \] 我们进一步分析传输状态时的导行波。理想导波系统中的相波长[2]称为波导波长，记作\(\lambda_g\)。根据相波长和相位常数的定义，有： \[ \beta=\frac{2\pi}{\lambda_g} \] 我们可以计算出，对于相位常数\(\beta\)，有： \[ \beta=\sqrt{k^2-k_c^2}=\frac{2\pi}\lambda\sqrt{1-\left(\frac{\lambda}{\lambda_c}\right)^2} \] 于是，相波长为 \[ \lambda_g=\frac{\lambda}{\sqrt{1-\left(\frac{\lambda}{\lambda_c}\right)^2}}=\frac{\lambda_0/\sqrt{\mu_r\varepsilon_r}}{\sqrt{1-\left(\frac{\lambda}{\lambda_c}\right)^2}} \] 根据相速度的一般公式\(v_p=\omega/\beta\)，相速度为： \[ v_p=\frac{c/\sqrt{\mu_r\varepsilon_r}}{\sqrt{1-\left(\frac{\lambda}{\lambda_c}\right)^2}} \] 根据群速度的一般公式\(v_g=d\omega/d\beta\)，将\(\beta=\sqrt{k^2-k_c^2}\)中的\(k\)用\(\omega\sqrt{\mu\varepsilon}\)表示，有： \[ v_g=v\sqrt{1-\left(\frac{\lambda}{\lambda_c}\right)^2} \] 以上就是会经常用到的一些传播特性参量。
导波模式
矩形波导
导通模式下矩形波导中TM波的通解为：
【一大坨式子，里面有两个参量\(m\)和\(n\)】
这里的\(m\)和\(n\)就是波导边界条件决定的正整数，称作波指数。\(m\)表示沿着波导长边分布的半驻波个数，\(n\)表示沿着波导短边分布的半驻波个数。\(m\)和\(n\)都不能是零。每一个\((m,n)\)都对应着一种电磁场分布，即一种波形，或者说，模式，记作\(TM_{mn}\)
导通模式下矩形波导中TE波的通解为：
【一大坨式子，里面有两个参量\(m\)和\(n\)】
这里的\(m\)和\(n\)都是自然数，但是不能同时为零。每一个\((m,n)\)都对应着一种模式，记作\(TE_{mn}\)
将各种\(TM_{mn}\)和\(TE_{mn}\)相互叠加，就能表示出矩形波导中所有可能存在的波形。那么怎么知道某种模式是否存在呢？我们有： \[ k_c^2=\left(\frac{m\pi}{a}\right)^2+\left(\frac{n\pi}{b}\right)^2 \] 也就是 \[ \lambda_c=\frac{2\pi}{k_c}=\frac{2}{\sqrt{\left(\frac{m\pi}{a}\right)^2+\left(\frac{n\pi}{b}\right)^2}} \] 考察波的\(k\)(由频率和介质决定)，当满足传输条件\(k>k_c\)或\(\lambda<\lambda_c\)时，就存在对应的模式。观察这个式子，我们发现当\(m,n\)对应相等时，TM波和TE波有着相同的截止波数，我们把这样的现象叫做模式简并[3]。
通常，我们称截止波数最小（截止波长最大）的模式为主模，也叫基本模式或者最低模式。矩形波导的主模是\(TE_{10}\)模。
矩形波导的功率容量（最大传输功率）如下： \[ P_{max}=\frac{ab}{480\pi}E^2_{br}\sqrt{1-\left(\frac{\lambda}{2a}\right)^2} \] 其中\(E_{br}\)是波导内媒质的击穿电压。
圆波导
圆波导的分析的大概形状和矩形波导是类似的，也有TE、TM波。
TM通解为：
【一大坨式子，里面有个参量\(u_{ni}\)】
其中\(u_{ni}\)表示第一类\(n\)阶贝塞尔函数的第\(i\)个零点。\((n,i)\)代表了一个TM波的模式，记作\(TM_{ni}^\circ\)
TE通解为：
【一大坨式子，里面有个参量\(v_{ni}\)】
其中\(v_{ni}\)表示第一类\(n\)阶贝塞尔函数的导数的第\(i\)个零点。\((n,i)\)代表了一个TE波的模式，记作\(TE_{ni}^\circ\)
圆波导的截止波长一般查表给出。
在圆波导中，存在两种模式简并。第一种是E-H简并，因为对于第一类贝塞尔函数有\(J'_0(x)=-J_1(x)\)，所以\(J'_0\)和\(J_1\)的零点相等，因此\(H_{0i}\)和\(E_{1i}\)简并。第二种叫极化简并，是因为坐标\(\varphi\)的完全对称性引起的。在圆波导中，电磁场的横向分布存在着\(\cos n\varphi\)和\(\sin n\varphi\)两种形式，它们具有相同的截止波长，只是极化方向旋转90度。