数字信号处理·变换之章
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你说得对，但是《数字信号处理》是电子信息工程学院独立开设的一门核心专业课，课程发生在一个被称作D221的幻想世界，在这里，被神选中的序列将被授予“傅里叶变换”，导引频域分解之力。玩家将扮演一位名为“DSP”的神秘角色，在自由的系统中邂逅性格各异、能力独特的信号们，和他们一起分析频谱，找回失散的频段——同时，逐步发掘“线性系统”的真相。
第二章：离散时间信号与系统
离数时间序列
序列的表示方式略。
序列的分类
有限长度/无限长度序列、左/右/双边序列、因果/非因果序列、实/复数序列的定义很显然，就是字面意思，略。
周期序列和非周期序列
周期序列的定义： \[ \exists N\neq 0\ \forall n\ x[n]=x[n+N] \] 满足上面式子的序列称为周期序列，否则称为非周期序列。需要提醒的是：如果一个序列满足上面的式子，它一定是无限长的双边序列，也就是\(n\)从负无穷取遍正无穷。例如：\(x[n]=\sin (\pi n/5)\)是周期序列，但\(x[n]=u[n]\sin(\pi n/5)\)不是周期序列。
能量序列和功率序列
如果对序列\(x[n]\)有： \[ E=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\lvert x[n]\rvert^2<\infty \] 称该序列为能量有限序列，简称能量序列。对于能量无限序列，如果另有： \[ P=\lim_{N\to \infty}\frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^N \lvert x[n] \rvert ^2<\infty \] 则称该序列为功率有限序列，简称功率序列。需要注意的是：周期序列一般来说都是功率序列。周期序列的功率为： \[ P=\lim_{N\to \infty} \frac{1}{N} \sum_{n=n}^{N-1}\lvert x[n]\rvert^2 \]
常见序列
矩形序列、脉冲序列、阶跃序列、实指数序列略。
复指数序列
对于指数序列 \[ x[n]=A\alpha^n \] 如果\(A,\alpha\)是复数，那么这个序列是复指数序列。若有\(A=|A|\angle \varphi,\alpha=|\alpha|\angle \omega_0\)，则复指数序列也可以表示成： \[ x[n]=|A||\alpha|^n\exp [j(\omega_0n+\varphi)] \] 复指数序列表现为一列不断收缩或者扩张的螺旋。特别地，当\(|\alpha|=1\)时，复指数序列的幅值保持不变。此时，如果满足 \[ \frac {\omega_0}{2N}\in \mathbb Q \] 则复指数序列是周期序列。其周期为： \[ N=\frac{2\pi m}{\omega_0}\in \mathbb Z^+ \] 其中\(m\)是能让\(N\)成为正整数的整数。
【例】计算以下序列的最小正周期： \[ x[n]=e^{j\frac {6\pi}{31}n} \] 【解】由于 \[ N=\frac{2\pi m}{\omega}=\frac{31}{3}m \] 取\(m=3\)，得最小正周期为\(N=31\)
无论复指数序列是不是周期序列，\(\omega_0\)都称作这个序列的数字频率。对于连续时间信号来说，频率越大，信号震荡得越快。但是对于复指数序列来说，\(\omega_0\)从\(0\)增加到\(\pi\)时，振荡得越来越快；从\(\pi\)增加到\(2\pi\)时，振荡得越来越慢，并且以\(2\pi\)为周期。
这初看有些不好理解，但是实际上是因为复指数序列是离散时间序列，时间最细的粒度是\(1\)（不同于连续时间序列的时间定义在连续统上，时间最细的粒度是无穷小）。复指数序列振荡最快的情形，可以想象这样的序列： \[ x[n]=Ae^{j\pi n} \] 也就是\(x[n]=A(-1)^n\)，它振荡得再快，也就是每过1个时间变一下符号而已嘛。
当\(\omega_0>0\)时，表示在复平面内逆时针旋转，否则为顺时针旋转。
离散时间系统
和连续时间系统的理论差不多，有线性、时不变、因果、记忆、稳定等等。
对于线性时不变[1]系统，同样可以用卷积表示。即：如果线性时不变系统的单位脉冲响应是\(h[n]\)，对于任意输入序列\(x[n]\)，有响应： \[ y[n]=\sum_{k=-\infty}^\infty x[k]h[n-k]=x[n]*h[n] \]
卷积有交换律、结合律，对加法有左分配律。
LTI系统是因果系统等价于其单位脉冲响应是因果序列。
LTI系统稳定等价于其单位脉冲响应绝对可和，即： \[ S=\sum_{k=-\infty}^\infty \lvert h[k] \rvert < \infty \]
线性常系数差分方程
差分方程的概念、表示方法和解法略，在之前的“Z变换”一文中有说明。
线性系统的输入序列\(x[n]\equiv 0\)时，有输出序列\(y[n]\equiv 0\)。这个结论是显然成立的：如果对于\(x[n]\equiv 0\)的输出不全为零的话，设\(a[n]\)单独输入时的输出为\(b[n]\)，那么对于\(a[n]+x[n]\)的输入，输出将为\(b[n]+y[n]\)，可是\(a[n]+x[n]=a[n]\)呀，\(y[n]\)不全为零，那么系统对于同样的输入不就有两个不同输出了吗？这显然是荒诞的。
【例】对于下列方程描述的系统： \[ y[n]-ay[n-1]=x[n] \] 初始条件为\(y[-1]=1\)，那么这是线性系统吗？
【解】对于全零输入，其输出序列为\(y[n]=a^{n+1}\)，不全为零，因此不是线性系统。
这道例题说明：不是一切用常系数线性差分方程表示的系统都是线性系统，更不用说线性时不变了。事实上，如果要系统是因果的LTI系统，必须要满足“初始松弛”的条件，也就是初始状态为零。
DTFT、DFS和Z变换
离散时间傅里叶变换(DTFT)
首先，我们可以回忆一下连续时间信号的傅里叶变换： \[ \begin{align} X(j\Omega)=\int_{-\infty}^\infty x(t)e^{-j\Omega t}\mathbf dt\\ x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty X(j\Omega)e^{j\Omega t}\mathbf d\Omega \end{align} \]
DTFT的定义
和连续时间傅里叶变换类似，DTFT是要把序列\(x[n]\)表示序列\(e^{j\omega n }\mathbf d\omega\)的线性组合： \[ x[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty X(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega \] 则权函数可以表示为： \[ X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^\infty x[n]e^{-j\omega n} \] 这就是离散时间傅里叶变换的性质。需要强调的是：\(X(e^{j\omega})\)是\(\omega\)的连续函数，称为频谱密度函数。它是周期为\(2\pi\)的周期函数。
DTFT的性质和相关定理
假如\(x[n]\)的DTFT是\(X(e^{j\omega})\)，那么
线性
时域移位性质： \[ x[n-n_d]\to e^{j\omega n_d}X(e^{j\omega}) \] 时域移位不会影响幅度频谱，但会引起相位频谱的线性变化，其斜率为\(-n_d\)
频域移位性质： \[ e^{j\omega_0n}\to X(e^{j(\omega-\omega_0)}) \]
时间倒置性质： \[ x[-n]=X(e^{-j\omega}) \]
频域微分性质： \[ nx[n]\to j\frac{d X}{d\omega} \]
共轭性质： \[ x^*[n]\to X^*(e^{-j\omega}) \]
时、频域卷积，帕塞瓦尔定理。
DTFT的对称性
对于一个序列\(x[n]\)，有其共轭逆序序列\(x^*[-n]\)，利用这个序列，我们可以把原序列分解[2]成共轭对称序列和共轭反对称序列，即： \[ \begin{align} x_e[n]=\frac 12(x[n]+x^*[-n])\\ x_o[n]=\frac 12(x[n]-x^*[-n]) \end{align} \] 同样，对于连续函数（当然这里说的连续函数就是\(X(e^{j\omega})\)，也可以按照类似的方法进行分解。
共轭对称序列\(x_e[n]\)的实部偶对称，虚部奇对称；共轭反对称序列\(x_o[n]\)的实部奇对称，虚部偶对称。
利用“共轭性质”，“线性性质”，有： \[ \begin{align} x_{Re}[n]\to X_e(e^{j\omega})\\ jx_{Im}[n]\to X_o(e^{j\omega})\\ x_e[n]\to X_{Re}(e^{j\omega})\\ x_o[n]\to jX_{Im}(e^{j\omega}) \end{align} \] 由第一个式子，可以看出：实序列的DTFT幅度谱是偶函数，相位谱是奇函数。
离散傅里叶级数（DFS）
DFS就是把DTFT里面的\(\omega\)换成\(2\pi k/N\)，其中\(N\)是原序列的周期，\(k\)是变换后得到的权序列的自变量。
Z变换
没啥好说的这个，上学期都学过了。
首先要注意的就是，\(X(z)\)本质上来说还是个幂级数，以原序列为系数，即： \[ X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} \] 在分析某些问题时，这种思维会很有用。