数字信号处理·变换之章

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你说得对，但是《数字信号处理》是电子信息工程学院独立开设的一门核心专业课，课程发生在一个被称作D221的幻想世界，在这里，被神选中的序列将被授予“傅里叶变换”，导引频域分解之力。玩家将扮演一位名为“DSP”的神秘角色，在自由的系统中邂逅性格各异、能力独特的信号们，和他们一起分析频谱，找回失散的频段——同时，逐步发掘“线性系统”的真相。

第二章：离散时间信号与系统

离数时间序列

序列的表示方式略。

序列的分类

有限长度/无限长度序列、左/右/双边序列、因果/非因果序列、实/复数序列的定义很显然，就是字面意思，略。

• 周期序列和非周期序列

  周期序列的定义： $$ 满足上面式子的序列称为周期序列，否则称为非周期序列。需要提醒的是：如果一个序列满足上面的式子，它一定是无限长的双边序列，也就是$$从负无穷取遍正无穷。例如：$$是周期序列，但$$不是周期序列。

• 能量序列和功率序列

  如果对序列$$有： $$ 称该序列为能量有限序列，简称能量序列。对于能量无限序列，如果另有： $$ 则称该序列为功率有限序列，简称功率序列。需要注意的是：周期序列一般来说都是功率序列。周期序列的功率为： $$

常见序列

矩形序列、脉冲序列、阶跃序列、实指数序列略。

• 复指数序列

  对于指数序列 $$ 如果$$是复数，那么这个序列是复指数序列。若有$$，则复指数序列也可以表示成： $$ 复指数序列表现为一列不断收缩或者扩张的螺旋。特别地，当$$时，复指数序列的幅值保持不变。此时，如果满足 $$ 则复指数序列是周期序列。其周期为： $$ 其中$$是能让$$成为正整数的整数。

  【例】计算以下序列的最小正周期： $$ 【解】由于 $$ 取$$，得最小正周期为$$

  无论复指数序列是不是周期序列，$$都称作这个序列的数字频率。对于连续时间信号来说，频率越大，信号震荡得越快。但是对于复指数序列来说，$$从$$增加到$$时，振荡得越来越快；从$$增加到$$时，振荡得越来越慢，并且以$$为周期。

  这初看有些不好理解，但是实际上是因为复指数序列是离散时间序列，时间最细的粒度是$$（不同于连续时间序列的时间定义在连续统上，时间最细的粒度是无穷小）。复指数序列振荡最快的情形，可以想象这样的序列： $$ 也就是$$，它振荡得再快，也就是每过1个时间变一下符号而已嘛。

  当$$时，表示在复平面内逆时针旋转，否则为顺时针旋转。

离散时间系统

和连续时间系统的理论差不多，有线性、时不变、因果、记忆、稳定等等。

对于线性时不变^[1]系统，同样可以用卷积表示。即：如果线性时不变系统的单位脉冲响应是$$，对于任意输入序列$$，有响应： $$

卷积有交换律、结合律，对加法有左分配律。

LTI系统是因果系统等价于其单位脉冲响应是因果序列。

LTI系统稳定等价于其单位脉冲响应绝对可和，即： $$

• 线性常系数差分方程

  差分方程的概念、表示方法和解法略，在之前的“Z变换”一文中有说明。

  线性系统的输入序列$$时，有输出序列$$。这个结论是显然成立的：如果对于$$的输出不全为零的话，设$$单独输入时的输出为$$，那么对于$$的输入，输出将为$$，可是$$呀，$$不全为零，那么系统对于同样的输入不就有两个不同输出了吗？这显然是荒诞的。

  【例】对于下列方程描述的系统： $$ 初始条件为$$，那么这是线性系统吗？

  【解】对于全零输入，其输出序列为$$，不全为零，因此不是线性系统。

  这道例题说明：不是一切用常系数线性差分方程表示的系统都是线性系统，更不用说线性时不变了。事实上，如果要系统是因果的LTI系统，必须要满足“初始松弛”的条件，也就是初始状态为零。

DTFT、DFS和Z变换

离散时间傅里叶变换(DTFT)

首先，我们可以回忆一下连续时间信号的傅里叶变换： $$

DTFT的定义

和连续时间傅里叶变换类似，DTFT是要把序列$$表示序列$$的线性组合： $$ 则权函数可以表示为： $$ 这就是离散时间傅里叶变换的性质。需要强调的是：$$是$$的连续函数，称为频谱密度函数。它是周期为$$的周期函数。

DTFT的性质和相关定理

假如$$的DTFT是$$，那么

1. 线性

2. 时域移位性质： $$ 时域移位不会影响幅度频谱，但会引起相位频谱的线性变化，其斜率为$$

3. 频域移位性质： $$

4. 时间倒置性质： $$

5. 频域微分性质： $$

6. 共轭性质： $$

7. 时、频域卷积，帕塞瓦尔定理。

DTFT的对称性

对于一个序列$$，有其共轭逆序序列$$，利用这个序列，我们可以把原序列分解^[2]成共轭对称序列和共轭反对称序列，即： $$ 同样，对于连续函数（当然这里说的连续函数就是$$，也可以按照类似的方法进行分解。

共轭对称序列$$的实部偶对称，虚部奇对称；共轭反对称序列$$的实部奇对称，虚部偶对称。

利用“共轭性质”，“线性性质”，有： $$ 由第一个式子，可以看出：实序列的DTFT幅度谱是偶函数，相位谱是奇函数。

离散傅里叶级数（DFS）

DFS就是把DTFT里面的$$换成$$，其中$$是原序列的周期，$$是变换后得到的权序列的自变量。

Z变换

没啥好说的这个，上学期都学过了。

首先要注意的就是，$$本质上来说还是个幂级数，以原序列为系数，即： $$ 在分析某些问题时，这种思维会很有用。

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1. 需要注意的是，我们平常做题见到的很多系统都不是线性时不变系统。例如：如果进行了压扩变换，那么系统往往是时变的。我们平常所进行的“调幅”(即频率搬移)乘以一个()，由于产生了新的频率分量，也不是线性时不变的。 ↩︎
2. 为什么说“分解”呢？因为(x[n]=x_e[n]+x_o[n])显然成立。 ↩︎