关于分离变量法和物质极化的那些事
这部分写的有点混乱，主要原因是我自己也没搞得太明白。还是希望大家多多在评论里交流。
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静电位拉普拉斯方程的变量可分离解
拉普拉斯方程： \[ \nabla^2\Phi=0 \]
直角坐标系中
平凡解： \[ \Phi(\vec { r } )=X(x) Y(y) Z(z)=(A x+B)(C y+D)(E z+F) \] 一般解： \[ \Phi(x, y, z)=\left\{\begin{array}{l} \sin \\ \cos \\ == \\ e^{\pm} \\ \sinh \\ \cosh \end{array}\right\} K_{x} x\left\{\begin{array}{l} \sin \\ \cos \\ == \\ e^{\pm} \\ \sinh \\ \cosh \end{array}\right\} K_{y} y\left\{\begin{array}{l} \sin \\ \cos \\ == \\ e^{\pm} \\ \sinh \\ \cosh \end{array}\right\} K_{z} z \] 满足： \[ \pm K_x^2\pm K_y^2\pm K_z^2=0 \] 选试探解时，必须从分割线两边选取，不能只取一边。
柱坐标系中
平凡解： \[ \Phi(\vec { r } )=\left(A+B \ln r_ { c } \right)(C+D \varphi)(F+G z) \] 其中第一项的物理意义是：\(z\)方向上无限长均匀带电直线线电荷周围的电场。
一般解： \[ \Phi(\vec { r } )=\left(A r_ { C } ^ { n } +B r_ { C } ^ { -n } \right)(C \sin n \varphi+D \cos n \varphi) \] 其物理意义如下：
- \(n=1,B=C=0\)：\(x\)方向匀强电场
- \(n=1,B=D=0\)：\(y\)方向匀强电场
- \(n=1,A=C=0\)：沿着\(x\)轴放置的二维电偶极子
- \(n=1,A=D=0\)：沿着\(y\)轴放置的二维电偶极子
- 对于整数\(n\)，系统是一个\(2n\)偶极子。当\(A\neq 0\)时， 有放置在无穷远处多极子形式；当\(B\neq0\)时，有放置在原点的多极子形式
需要注意的是：上述系统的总电荷量都是0，只有平凡解中式\(\left(A+B \ln r_ { c } \right)\)对应的系统总电荷量不为零。因此，系统有没有净电荷，可以作为判断要不要取\(\left(A+B \ln r_ { c } \right)\)的依据。
球坐标系中
平凡解： \[ \Phi(\vec { r } )=\left(A+\frac { B } { r_ { s } } \right)\left[C+D \ln \left(\tan \frac { \theta } { 2 } \right)\right](F+G \varphi) \] 其物理意义为：
- 第一项表示了位于原点的点电荷
- 第二项是在一个空间两圆锥面之间夹着的区域的电荷分布
- 第三项是空间角域的电荷分布
一般解： \[ \Phi(\vec { r } ) =\left[A r_ { S } ^ { n } +\frac { B } { r_ { S } ^ { n+1 } } \right] P_ { n } ^ { m } (\cos \theta)(C \sin m \varphi+D \cos m \varphi)\ \ (m\leq n) \] 如果系统的总电荷量为0，它的电位中就不可能有$ { r_s } \(出现，因此只会有一般解中\)n\(的形式出现。如果一个系统中总电荷量不是0，那么就可以有\) { r_s } $出现。
边界条件的选取规则
边界电位已知的系统
直接写出边界上\(\Phi\)等于已知的电位即可。
带有自然边界条件的系统
对于一个分布在有限区域的源（例如：给出某边界的电压表达式，在某表面上有电荷等），观察点离他越远，他对观察点的 场 的影响就越小。如果源在某个方向是无限的，那么在无限远处电位是常数，只有电场趋于零。如果源确实是有限的（例如：球面），那么可以认为电位在无穷远点是0，此时电场当然也是零。因此，有： \[ r\to \infty,E\to 0 \] 对于在某个方向无限的情况，特别地，如果在系统中给出了“地”，或者和地相连的零电位面，而且当前\(r\to \infty\)的这个方向附近存在零电位面，那么这个条件很可能也可以被进一步加强为： \[ r\to \infty,\Phi\to 0 \] 在系统的原点处，往往有极值定理。这说明：在\(r=0\)处，电位应该有限，即： \[ r\to 0,\Phi=0 \]
导数边界条件
在载流导体和空气的边界，电容器的边缘处，往往有： \[ \frac { \partial \Phi } { \partial n } =0 \] 在有面自由电荷分布的边界上，有： \[ \varepsilon_0\frac { \partial \Phi_2 } { \partial n } -\varepsilon_0\frac { \partial \Phi_1 } { \partial n } =\eta \] 如果上面的情况是在两个电介质的交界处，有： \[ \varepsilon_0\frac { \partial \Phi_2 } { \partial n } -\varepsilon_0\frac { \partial \Phi_1 } { \partial n } =\eta_f+\eta_p \] 或 \[ \varepsilon_1\frac { \partial \Phi_2 } { \partial n } -\varepsilon_2\frac { \partial \Phi_1 } { \partial n } =\eta_f \]
在两个电导率不同的材料的交界面上，有： \[ \sigma_1\frac { \partial \Phi_1 } { \partial n } =\sigma_1\frac { \partial \Phi_1 } { \partial n } \]
带有趋势性边界条件的静电系统
近区：点电荷、电偶极子等，如果放在原点，那么\(r_s\to 0\)时，电位趋向于点电荷和电偶极子的电荷。
远区：如果在一个看起来就很“大”的系统，例如：遍布于全空间的匀强电场中放入一个导体球，那么当\(r_s\to \infty\)时，场分布应该和那么很“大”的系统一样。
试探解的选取规则
直角坐标系中
首先确定：电位和哪些坐标量有关，和哪些坐标量无关。
然后，检查电位是否在某个方向线性变化。这里一般是看边界条件。如果确实线性变化，选平凡解。
然后，看系统在某坐标量上的零点个数。如果有超过1个零点，那么这个坐标量应该考虑三角函数形式。否则，可以考虑指数函数形式。需要特别注意的是：\(\cosh\)函数是没有零点的。
然后，看对称性。三角函数中，\(\sin\)是奇函数，\(\cos\)是偶函数。在指数形式函数中，\(\sinh\)是奇函数，\(\cosh\)是偶函数。
柱坐标系中
在柱坐标系中确定\(n\)的值时，应结合边界条件，看看边界条件中给出的是（例如）： \[ r_c=b,\Phi_1=\Phi_2=V_0\sin 2\varphi \] 这时候\(n\)就是2。如果边界条件是（例如）： \[ r_ { C } =R, \Phi_ { 1 } (\vec { r } )=\Phi_ { 2 } (\vec { r } )=V_ { 0 } \cos \varphi \] 这时候\(n\)显然是\(1\)，同时也可以确定\(C,D\)的存在性。
如果系统中存在净电荷量，或者只和\(r_c\)有关，那么可以考虑平凡解的\((A+B\ln r_c)\)项。
球坐标系中
首先也要确定\(n,m\)的取值。如果系统和\(\phi\)无关，那么这时候\(m\)显然是0，这种情况很简单。如果不能确定，应看边界条件中有没有和勒让德函数形式契合的。如果有，那么\(n,m\)的取值也随之确定。
如果系统和\(\theta,\varphi\)看起来都没有关系，可以选取平凡解\((A+B/r_s)\)。如果系统很契合“两个圆锥面”的物理情景，可选择平凡解的第二项。
有物质存在时的场定律
极化
极化强度矢量
定义式: \[ P=\lim_ { \Delta V\to 0 } \frac { \sum_ { i=1 } ^n p_i } { \Delta V } \] 其中ΔV是空间中的小体积元，pi是ΔV中一个电偶极子的电偶极矩。还有一个计算式： \[ P=\chi_e\varepsilon_0E \] 其中\(\chi_e\)是极化率。这个式子只有在非永久极化时才能使用。
极化与高斯定律
有极化电荷密度： \[ \rho_P=-\nabla\cdot P \] 由这个式子，可导出边界条件： \[ \eta_P=-i_n\cdot(P_1-P_2) \] 宏观极化模型下的高斯定律： \[ \nabla\cdot(\varepsilon_0E+P)=\rho_f \] 如果令电位移矢量\(D\) \[ D=\varepsilon_0E+P=\varepsilon_0E+\chi_e\varepsilon_0E=(1+\chi_e)\varepsilon_0E=\varepsilon_r\varepsilon_0E \] 有： \[ \nabla\cdot D=\rho_f \] 写成积分形式： \[ \oint_sD \mathrm { d } a=\iiint_v\rho_f \mathrm { d } V \] 还可以导出以下两个边界条件： \[ i_n\cdot\varepsilon_0(E_1-E_2)=\eta_f+\eta_p\\ i_n\cdot(D_1-D_2)=\eta_f \]
极化与安培环路定律
极化电流： \[ J_p=\frac { \partial P } { \partial t } \] 修正的安培环路定律： \[ \nabla\times H=J_f+\frac { \mathbf { d } D } { \mathbf { d } t } \] 积分形式： \[ \oint_cH\mathbf { d } s=\iint_sJ\mathbf { d } a+\frac { \mathbf { d } } { \mathbf { d } t } \iint_sD\mathbf { d } a \]
求解问题思路
永久极化问题
在永久极化的情况下，\(P=\chi_e\varepsilon_0E\)不能用，这时候\(P\)一般会直接告诉你。我们一般用 \[ \rho_P=-\nabla\cdot P \] 求出极化电荷分布，然后把极化电荷当成电荷，用已知电荷求场的思路解决问题。
非永久极化问题
这时候一般用分离变量法求出场分布，然后再用\(D=\varepsilon E\)求出电位移矢量，然后进一步求解极化电荷等等。
磁化
这里只介绍磁荷模型，因为它可以导出电磁对偶关系。
磁化强度矢量
\[ M=\lim_ { \Delta V\to0 } \frac { \sum_ { i=1 } ^N m_i } { \Delta V } \]
由电磁对偶关系（这里是\(\mu_0M\)和\(P\)对偶），就能直接得出：
磁荷密度： \[ \rho_M=-\nabla\cdot\mu_0M \] 磁流密度： \[ J_M=\frac { { \bf d } } { { \bf d } t } (\mu_0M) \] 定义磁感应强度\(B\): \[ B=\mu_0(1+\chi_m)H=\mu H \]
磁化与电磁感应定律
\[ \nabla \times E=-\frac { \partial B } { \partial t } \]
积分形式： \[ \oint_cE { \bf d } s=-\frac { { \bf d } } { { \bf d } t } \iint_sB { \bf d } a \]