关于分离变量法和物质极化的那些事

这部分写的有点混乱，主要原因是我自己也没搞得太明白。还是希望大家多多在评论里交流。

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静电位拉普拉斯方程的变量可分离解

拉普拉斯方程： $${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=0$$

直角坐标系中

平凡解： $$\mathrm{\Phi }(\overrightarrow{r})=X(x)Y(y)Z(z)=(Ax+B)(Cy+D)(Ez+F)$$ 一般解： $$\mathrm{\Phi }(x,y,z)=\left\{\begin{array}{l}\sin \\ \cos \\ ==\\ e^{\pm }\\ \sinh \\ \cosh \end{array}\right\}{K}_{x}x\left\{\begin{array}{l}\sin \\ \cos \\ ==\\ e^{\pm }\\ \sinh \\ \cosh \end{array}\right\}{K}_{y}y\left\{\begin{array}{l}\sin \\ \cos \\ ==\\ e^{\pm }\\ \sinh \\ \cosh \end{array}\right\}{K}_{z}z$$ 满足： $$\pm K_x^2\pm K_y^2\pm K_z^2=0$$ 选试探解时，必须从分割线两边选取，不能只取一边。

柱坐标系中

平凡解： $$\mathrm{\Phi }(\overrightarrow{r})=(A+B\ln r_c)(C+D\phi )(F+Gz)$$ 其中第一项的物理意义是：$z$方向上无限长均匀带电直线线电荷周围的电场。

一般解： $$ 其物理意义如下：

1. $$：$$方向匀强电场
2. $$：$$方向匀强电场
3. $$​：沿着$$轴放置的二维电偶极子
4. $$：沿着$$轴放置的二维电偶极子
5. 对于整数$$，系统是一个$$偶极子。当$$时， 有放置在无穷远处多极子形式；当$$时，有放置在原点的多极子形式

需要注意的是：上述系统的总电荷量都是0，只有平凡解中式$$对应的系统总电荷量不为零。因此，系统有没有净电荷，可以作为判断要不要取$$的依据。

球坐标系中

平凡解： $$ 其物理意义为：

1. 第一项表示了位于原点的点电荷
2. 第二项是在一个空间两圆锥面之间夹着的区域的电荷分布
3. 第三项是空间角域的电荷分布

一般解： $$ 如果系统的总电荷量为0，它的电位中就不可能有$ { r_s } $$n$$ { r_s } $出现。

边界条件的选取规则

边界电位已知的系统

直接写出边界上$$等于已知的电位即可。

带有自然边界条件的系统

对于一个分布在有限区域的源（例如：给出某边界的电压表达式，在某表面上有电荷等），观察点离他越远，他对观察点的 场 的影响就越小。如果源在某个方向是无限的，那么在无限远处电位是常数，只有电场趋于零。如果源确实是有限的（例如：球面），那么可以认为电位在无穷远点是0，此时电场当然也是零。因此，有： $$ 对于在某个方向无限的情况，特别地，如果在系统中给出了“地”，或者和地相连的零电位面，而且当前$$的这个方向附近存在零电位面，那么这个条件很可能也可以被进一步加强为： $$ 在系统的原点处，往往有极值定理。这说明：在$$处，电位应该有限，即： $$

导数边界条件

在载流导体和空气的边界，电容器的边缘处，往往有： $$ 在有面自由电荷分布的边界上，有： $$ 如果上面的情况是在两个电介质的交界处，有： $$ 或 $$

在两个电导率不同的材料的交界面上，有： $$

带有趋势性边界条件的静电系统

近区：点电荷、电偶极子等，如果放在原点，那么$$时，电位趋向于点电荷和电偶极子的电荷。

远区：如果在一个看起来就很“大”的系统，例如：遍布于全空间的匀强电场中放入一个导体球，那么当$$时，场分布应该和那么很“大”的系统一样。

试探解的选取规则

直角坐标系中

首先确定：电位和哪些坐标量有关，和哪些坐标量无关。

然后，检查电位是否在某个方向线性变化。这里一般是看边界条件。如果确实线性变化，选平凡解。

然后，看系统在某坐标量上的零点个数。如果有超过1个零点，那么这个坐标量应该考虑三角函数形式。否则，可以考虑指数函数形式。需要特别注意的是：$$函数是没有零点的。

然后，看对称性。三角函数中，$$是奇函数，$$是偶函数。在指数形式函数中，$$是奇函数，$$是偶函数。

柱坐标系中

在柱坐标系中确定$$的值时，应结合边界条件，看看边界条件中给出的是（例如）： $$ 这时候$$就是2。如果边界条件是（例如）： $$ 这时候$$显然是$$，同时也可以确定$$的存在性。

如果系统中存在净电荷量，或者只和$$有关，那么可以考虑平凡解的$$项。

球坐标系中

首先也要确定$$的取值。如果系统和$$无关，那么这时候$$显然是0，这种情况很简单。如果不能确定，应看边界条件中有没有和勒让德函数形式契合的。如果有，那么$$的取值也随之确定。

如果系统和$$看起来都没有关系，可以选取平凡解$$。如果系统很契合“两个圆锥面”的物理情景，可选择平凡解的第二项。

有物质存在时的场定律

极化

极化强度矢量

定义式: $$ 其中ΔV是空间中的小体积元，pi是ΔV中一个电偶极子的电偶极矩。还有一个计算式： $$ 其中$$是极化率。这个式子只有在非永久极化时才能使用。

极化与高斯定律

有极化电荷密度： $$ 由这个式子，可导出边界条件： $$ 宏观极化模型下的高斯定律： $$ 如果令电位移矢量$$ $$ 有： $$ 写成积分形式： $$ 还可以导出以下两个边界条件： $$

极化与安培环路定律

极化电流： $$ 修正的安培环路定律： $$ 积分形式： $$

求解问题思路

1. 永久极化问题

   在永久极化的情况下，$$不能用，这时候$$一般会直接告诉你。我们一般用 $$ 求出极化电荷分布，然后把极化电荷当成电荷，用已知电荷求场的思路解决问题。

2. 非永久极化问题

   这时候一般用分离变量法求出场分布，然后再用$$求出电位移矢量，然后进一步求解极化电荷等等。

磁化

这里只介绍磁荷模型，因为它可以导出电磁对偶关系。

磁化强度矢量

$$

由电磁对偶关系（这里是$$和$$对偶），就能直接得出：

磁荷密度： $$ 磁流密度： $$ 定义磁感应强度$$: $$

磁化与电磁感应定律

$$

积分形式： $$

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