关于电磁场辐射的那些事
这部分主要讨论的是电磁波是如何产生的。
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时变场的位函数
这一部分不是重点，我写完其它的再来写。
时变电偶极子的辐射
时变电偶极子
时变电偶极子是由大小相等、方向相反的两个点电荷\(\pm q(t)\)组成的，其中\(q(t)\)按正弦形式变化。这两个点电荷间距为\(\mathbf{d}s\to 0\)，电偶极子的有效长度（也叫电尺寸）为\(\mathbf{d}s/\lambda\)。有时，需要对电偶极子的电尺寸进行检验，看它是不是满足“远小于一”的条件。如果不满足，不应用电偶极子模型分析。
对于电偶极子之间的电流，有关系式：
\[ I(t)=\frac{\mathbf{d}q(t)} {\mathbf{d}t} \]
写成复数形式，就是
\[ \dot{I}=j\omega \dot{q} \]
全空间电磁场表达式
磁场：
\[ \dot{H}_{\varphi}=-\frac{\dot{I} d s \beta^{2} } {4 \pi} \sin \theta\left[\frac{1} {j \beta r_{s} }+\frac{1} {\left(j \beta r_{s}\right)^{2} }\right] e^{-j \beta r_{s} } \]
电场
\[ \begin{cases} &\dot{E}_{r_{s} }=-\frac{\dot{I} d s \beta^{2} \eta 2 \cos \theta} {4 \pi}\left[\frac{1} {\left(j \beta r_{s}\right)^{2} }+\frac{1} {\left(j \beta r_{s}\right)^{3} }\right] e^{-j \beta r_{s} } \\\\ &\dot{E}_{\theta}=-\frac{\dot{I} d s \beta^{2} \eta \sin \theta} {4 \pi}\left[\frac{1} {j \beta r_{s} }+\frac{1} {\left(j \beta r_{s}\right)^{2} }+\frac{1} {\left(j \beta r_{s}\right)^{3} }\right] e^{-j \beta r_{s} } \end{cases} \]
其中，有：
\[ \frac{\beta} {\omega \varepsilon}=\frac{1} {c \varepsilon}=\frac{\sqrt{\mu \varepsilon} } {\varepsilon}=\eta \]
这个\(\eta\)就是波阻抗。
时变电偶极子场的讨论
近区场
满足\(\beta r_s<<1\)的条件，观察点\(P\)离电偶极子比较近，这个区域称为近区。
在近区中，有：
\[ (\beta r_s)^{-3}>>(\beta r_s)^{-2}>>(\beta r_s)^{-1} \]
而且
\[ e^{-j\beta r_s}=0 \]
对于磁场，本来\(\tilde{H}\)的表达式是：
\[ \dot{H}_{\varphi}=-\frac{\dot{I} d s \beta^{2} } {4 \pi} \sin \theta\left[\frac{1} {j \beta r_{s} }+\frac{1} {\left(j \beta r_{s}\right)^{2} }\right] e^{-j \beta r_{s} } \]
中括号中第一项省去，后面的\(\exp\)项省去，有：
\[ \dot{H}_{\varphi\text{近} }\approx \frac{\dot{I} d s \sin \theta} {4 \pi r_{s}^{2} } \]
同理，对于电场，有：
\[ \tilde{E}_{\text{近} }\approx \frac{\dot{I} d s} {4 \pi j \omega \varepsilon} \cdot \frac{1} {r_{s}^{3} }\left[i_{r s} 2 \cos \theta+i_{\theta} \sin \theta\right] \]
我们观察电场和磁场表达式，容易发现，近区场的主要成分是似静场，也就是近似于静电（磁）场的场。它的复坡印廷矢量是一个纯虚数，于是，这部分的能量不会被辐射出现，好像是被束缚在了近区，因此似静场也叫“束缚场”。我们可以说：时变电偶极子近区场的主要成分是束缚场；但是不可以说：近区场就是束缚场。
远区场
当\(\beta r_s>>1\)时，观察点\(P\)离电偶极子很远，这样的区域称为远区。
在远区中，有：
\[ (\beta r_s)^{-1}>>(\beta r_s)^{-2}>>(\beta r_s)^{-3} \]
对于磁场，本来\(\tilde{H}\)的表达式是：
\[ \dot{H}_{\varphi}=-\frac{\dot{I} d s \beta^{2} } {4 \pi} \sin \theta\left[\frac{1} {j \beta r_{s} }+\frac{1} {\left(j \beta r_{s}\right)^{2} }\right] e^{-j \beta r_{s} } \]
中括号中的第二项省去，有：
\[ \dot{H}_{\varphi\text{远} } \approx \frac{i d s \sin \theta} {4 \pi r_{s} } j \beta e^{-j \beta r_{s} }=j \frac{i d s \sin \theta} {2 \lambda r_{s} } e^{-j \beta r_{s} } \]
很多同学可能不知道这个等号是怎么回事。我来说明一下：
有波长公式：
\[ \lambda f=c \]
又有：
\[ \omega=2\pi f \]
因此：
\[ \lambda=\frac{2\pi c} {\omega} \]
又因为：
\[ c=\frac 1{\sqrt{\mu\varepsilon} } \]
因此：
\[ 2\lambda\beta=2\cdot\frac{2\pi} {\omega\sqrt{\mu\varepsilon} }\cdot\omega\sqrt{\mu\varepsilon}=4\pi \]
可以看出，掌握电磁场中各个量的代换关系，是非常重要的。
同理，对于电场，有：
\[ \dot{E}_{\theta} \approx j \eta \frac{\dot{I} d s} {2 \lambda r_{s} } \sin \theta e^{-j \beta r_{s} } \]
计算坡印廷矢量：
\[ \tilde{S}=\frac{1} {2} \tilde{E} \times \widetilde{H}^{*}=i_{r_{s} } \frac{1} {2} \eta\left|\dot{H}_{\varphi}\right|^{2} \]
可以看出，在远区，电磁场有一个向外发射的功率流。远区中，电磁场携带的能量会全部辐射出去，因此远区场的 主要部分 ，也就是和\(r_s^{-1}\)成正比的这部分，被称为辐射场。辐射场中电场和磁场同相位，在等相位面上，电磁场振幅按照\(\sin \theta\)规律变化，因此辐射波是一个非均匀球面波。
必须说明的是：辐射场在近区也是存在的，不过十分微弱，不起主导作用。即：近区场也有能量发射的部分，远区场也有能量交换的部分，这里讨论的只是占主导作用的部分。因此 不能说：近区场就是束缚场，远区场就是辐射场 。随着\(r_s\)的增长，辐射场（即反比于\(r_s\)的项）比其它反比于\(r_s\)高次方的项减少的慢，因此辐射场渐渐起了主导作用。用一个示意图描述，就是：
方向性函数
方向性函数的定义：
\[ F(\theta,\varphi)=\frac{|E(\theta,\varphi)|} {|E_maxx|} \]
在时变电偶极子的情况下，有：
\[ F(\theta,\varphi)=|\sin \theta| \]
在Mathematica中运行代码：
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可以看出它长这样：
其E面方向图如下：
H面方向图如下：
辐射功率和辐射电阻
时变电偶极子的辐射功率为：
\[ \dot{P}_r=\oint_A\tilde{S}\mathbf{d}a=\frac \pi 3\eta I^2\left(\frac{ds} {\lambda}\right)^2 \]
由
\[ P=I^2R \]
得辐射电阻：
\[ R_r=\frac{2\pi} {3}\eta\left(\frac{ds} {\lambda}\right)^2 \]
时变磁偶极子的辐射
时变磁偶极子
时变磁偶极子的模型是一个面积为\(a\)，载有电流\(I(t)\)的导线环。当导线环的大小远远小于波长时，可以视为一个时变磁偶极子。
电磁对偶原理
在讨论时变磁偶极子之前，首先来介绍电磁对偶原理。在之前，曾经提到过对称形式场定律：
\[ \begin{cases} \nabla \times \boldsymbol{H}=\varepsilon_{0} \frac{\partial \boldsymbol{E} } {\partial t}+\boldsymbol{J} \\\\ \nabla \cdot \varepsilon_{0} \boldsymbol{E}=\boldsymbol{\rho} \\\\ \nabla \cdot \boldsymbol{J}=-\frac{\partial \rho} {\partial t} \end{cases} \]
\[ \begin{cases} \nabla \times \boldsymbol{E}=-\mu_{0} \frac{\partial \boldsymbol{H} } {\partial t}-\boldsymbol{J}_{\mathrm{M} } \\\\ \nabla \cdot \mu_{0} \boldsymbol{E}=\rho_{\mathrm{M} } \\\\ \nabla \cdot \boldsymbol{J}_{\mathrm{M} }=-\frac{\partial \rho_{\mathrm{M} }} {\partial t} \end{cases} \]
这两组方程形式完全相同，只是第一个式子的源是电流、电荷；而第二个式子的源是磁流，磁荷。因此，如果一个只含电流、电荷源的系统的解\(E_1\),\(H_1\)已经求得，那么对于一个其它完全相同，只是把电流换成磁流，把电荷换成磁荷的新系统，它的解\(E_2\)和\(H_1\)，\(H_2\)和\(E_1\)应该有完全一样的形式
不妨对比一般性的两个系统a和b，如下。
两个系统有完全相同的区域和边界，只是把电流和磁流，电荷和磁荷调换。那么存在以下的代换关系：
\[ \begin{aligned} E&\to H\\\\ H&\to E\\\\ \rho &\to -\rho_M\\\\ \rho_M &\to -\rho\\\\ J&\to-J_M\\\\ J_M &\to-J\\\\ \varepsilon &\to -\mu\\\\ \mu &\to -\varepsilon \end{aligned} \]
如果上面系统\((a)\)的解\(E_a,H_a\)已经求出，按照上面的代换关系，就可以立刻得到系统\((b)\)的解。
全空间电磁场表达式
结合上面的电磁对偶关系，对于时变电偶极子式子里面的\(\beta/\eta=\omega\varepsilon\)应该代换成\(-\beta\eta=-\omega\mu\),因此\(\eta\)代换为\(-1/\eta\),还有关系\(\dot{I}ds\to-j\omega\mu\dot{I}a\)，可以直接写出全空间电磁场表达式：
\[ \begin{aligned} &\dot{E}_{\varphi}(\boldsymbol{r})=\frac{j \omega \mu_{0} \dot{I} a \beta_{0}^{2} \sin \theta} {4 \pi}\left[\frac{1} {j \beta_{0} r_{s} }+\frac{1} {\left(j\beta_{0} r_{s}\right)^{2} }\right] e^{-j \beta_{0} r_{s} } \\\\ &\dot{H}_{r_{s} }(\boldsymbol{r})=-\frac{j \omega \mu_{0} \dot{I} a \beta_{0}^{2} 2 \cos \theta} {4 \pi \eta_{0} }\left[\frac{1} {\left(j \beta_{0} r_{s}\right)^{2} }+\frac{1} {\left(j \beta_{0} r_{s}\right)^{3} }\right] e^{-j \beta_{0} r_{s} } \\\\ &\dot{H}_{\theta}(\boldsymbol{r})=-\frac{j \omega \mu_{0} \dot{I} a \beta_{0}^{2} \sin \theta} {4 \pi \eta_{0} }\left[\frac{1} {j \beta_{0} r_{s} }+\frac{1} {\left(j \beta_{s} r_{\omega}\right)^{2} }+\frac{1} {\left(j \beta_{s} r_{0}\right)^{3} }\right] e^{-j\beta_{0} r_{s} } \end{aligned} \]
时变磁偶极子场的讨论
近区场
近区场应该保留\((\beta r_s)\)的最低次项（也就是\(\frac{1} {\beta r_s}\)的最高次项）,删去\(e\)的指数项，有：
\[ E_\varphi\approx\frac{-j\omega\mu_0\dot{I}a\sin \theta} {4\pi r_s^2} \]
\[ H\approx \frac{j\omega\mu_0\dot{I}a} {4\pi j\omega \mu_0}\frac{1} {r_s^3}(i_{rs}2\cos\theta+i_\theta\sin \theta)=\frac{\dot{I}a} {4\pi}\frac{1} {r_s^3}(i_{rs}2\cos\theta+i_\theta\sin \theta) \]
远区场
\[ H_{远}-\frac{\pi \dot{I}a} {\lambda^2r_s}\sin \theta e^{-j\beta_0r_s} \]
\[ E_{远}=\frac{\pi\eta\dot{I}a} {\lambda^2r_s}\sin\theta e^{-j\beta_0r_s} \]
方向性函数
\[ F(\theta,\varphi)=|\sin \theta| \]
形状和电偶极子完全一样，但是E和H面的图要对换。
辐射功率和辐射电阻
由电磁对偶原理，有：
\[ P_r=\frac{\pi} {3\eta}\frac{\omega^2\mu^2I^2a^2} {\lambda^2} \]
化简后， 有：
\[ P_r=\frac{4} {3}\pi^3\eta\frac{I^2a^2} {\lambda^2} \]
在自由空间中，把\(\eta=120\pi\)代入，有：
\[ P_r=160\pi^4\frac{I^2a^2} {\lambda^2} \]
辐射电阻为：
\[ R_r=\frac{4\pi^3a^2\eta} {3\lambda^2} \]
其它天线简述
半波天线
可以理解为电偶极子天线长度变成半个波长。线天线的端点总是电流的波节点，中心点为波腹点。
方向性函数为：
\[ F(\theta,\varphi)=\frac{\cos(\frac \pi 2\cos \theta)} {\sin \theta} \]
它的指向性比交变电偶极子更窄。
天线长度越大，方向函数的零、极点越多，主向越向轴线靠拢。