抽象代数定义整理：第二弹

环为什么叫做环？

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第三章 环与域

定义1（加群） .一个交换群叫做加群，当这个群的代数运算叫做”加法“，并用符号$+$表示。

定义2（环） .一个集合$R$叫做一个环，当：

1. $R$是一个加群，即$R$对一个叫加法的代数运算作成一个交换群
2. $R$对另一个叫做乘法的代数运算封闭
3. 这个乘法适合结合律
4. 这里的加法和乘法适合左右分配律

例如：全体整数作成的集合对普通加法和乘法构成一个环。需要注意的是，环的定义中的乘法并不总满足交换律。

定义3（交换环） .一个环$$被称作交换环，当： $$ 定义4（环的单位元） 如果一个环$$中存在一个元素$$,使得 $$ 那么这个$$叫做环$$的单位元。环并不总有单位元。

例如：全体偶数对普通加法和普通乘法作成环，但是没有单位元。

定义5（零因子） .如果在一个环里，$$但是$$，那么$$是环中的一个左零因子，$$是环中的一个右零因子。

例如：对于所有形如$$的矩阵，对普通矩阵加法和普通矩阵乘法构成的环而言，有： $$ 于是$$是一个左零因子，$$是一个右零因子。

在一个没有零因子的环中两个消去律都成立，并且如果有任意一个消去律成立，就没有零因子。

定义6（整环） 符合以下性质的环$$叫做整环：

1. 乘法适合交换律
2. $$有单位元$$
3. $$没有零因子

定义7（除环） 符合以下性质的环$$叫做除环：

1. $$至少包含一个不为$$的元
2. $$有单位元
3. $$的每一个不为$$的元有一个逆元

显然，除环没有零因子，而且除环中的元素（除了0）对于乘法来说构成群。在一个除环中，只要$$,我们就能拿$$去除任意一个元$$，这就是除环名字的来历。

定义8（域） 一个交换除环叫做一个域。

定义9（环的特征） 一个无零因子环$$的非零元的相同的（对于加法来说）的阶叫做环的特征。

环的特征如果有限，那么它一定是个素数。

定义10（子环） 一个环$$的子集$$如果对$$的代数运算也作成一个环，那么它叫做$$的子环。

定义11（多项式） 假设$$是一个有单位元的交换环，$$是$$的子环，且包含$$的单位元。我们在$$中取出一个元$$。一个可以写成 $$ 的$$的元叫做$$上的$$的多项式。

定义12（多项式环） 我们把所有$$上$$的多项式放在一个集合中，叫做$$，那么$$叫做$$上$$的多项式环。

定义13（未定元，次数） $$的一个元$$叫做$$上的一个未定元，如果$$中不存在不全为零的$$，使得 $$ $$上的一个未定元$$的一元多项式只能用一种方法写成 $$ 的形式。其中$$叫做多项式的次数。

定义14（无关未定元） $$上的$$个元$$叫做$$上的无关未定元，假如任何一个$$上$$的多项式都不为零，除非系数全为零。

定义15（理想） 环$$的一个子环$$叫做一个 理想子环，简称理想 ，当：

1. $$
2. $$

一个环有两个平凡的理想，分别的只含零元的零理想、R自己（单位理想）

定义16（主理想） 给定一个环$$，取其中的一个元素$$，利用$$作成一个集合$$,其中包含所有形如： $$ （其中$$，$$是整数）形式的元。那么$$是含有$$的最小理想，叫做由$$生成的 主理想 ，用$$表示。

特别地：

• 如果$$是交换环，$$的元都可以写成$$的形式。其中$$是整数
• 如果$$有单位元，$$的元都可以写成$$的形式。
• 如果$$既是交换环由于单位元，那么$$都可以写成$$的形式。

定义17（生成理想） $$叫做由$$ 生成的理想 ，用$$来表示。$$包含所有可以写成 $$ 的元。

定义18（剩余类环） 给定一个环$$，$$是它的一个理想。就加法来看，$$是$$的不变子群，这样$$的陪集 $$ 作成$$的一个分类，我们把这些类叫做模$$的剩余类，$$是所有模$$的剩余类组成的集合，它也是一个环，我们称其为 剩余类环 ，记作： $$

事实上，$$和$$同态。

定义19（最大理想） 一个环$$的一个不等于$$的理想$$叫做 最大理想 ，当除了$$和$$以外，没有包含$$的理想。

最大理想有时候也叫做极大理想。如果$$是有单位元的交换环，$$是$$的理想，那么$$是一个域等价于$$是最大理想。

定义20（商域） 一个域$$叫做一个环$$的 商域 ，假如$$包含$$，并且$$恰好由 $$ 组成。

第四章 整环里的因子分解

定理1（整数环上唯一分解定理） 一个整数可以唯一地写成若干个素数的乘积。

定义21（整除,因子） 我们说整环$$的一个元$$可以被整环$$中的另一个元$$ 整除 ，当能在$$中找出一个元$$，使得 $$ 如果$$能被$$整除，记作$$，我们说$$是$$的 因子。

定义22（单位，相伴元） 整环$$的一个元$$叫做$$的一个 单位 ，当$$是有逆元的元。$$叫做$$的 相伴元 ，假如 $$

例如，整数环中有两个单位，分别是$$和$$；整复数环中有四个单位，分别是$$,$$。显然，单位的乘积、单位的逆元也是单位。

定义23（平凡因子、真因子） 单位和$$的相伴元叫做$$的 平凡因子 ，$$的其它因子叫做$$的 真因子 。

定义24（素元） 一个整环$$的一个既不是零元、也不是单位、还没有真因子的元$$叫做 素元 。

这样的话，单位元和素元的积也是素元。

定义25（唯一分解） 我们说一个整环$$的一个元$$在$$里有 唯一分解 ，假如：

1. $$，其中$$是素元
2. 若同时$$，其中$$是素元，那么$$，并且我们可以把$$的次序调换一下，使得$$

一个整环的泠鸢和单位显然是没有唯一分解的，但是其实不是零元也不是单位的元也不一定有唯一分解，例如在环$$中的元$$，有： $$

定义26（唯一分解环） 如果一个整环$$的每一个不是零元也不是单位的元都能唯一分解，那么$$叫做 唯一分解环 。

定义27（公因子，最大公因子） 如果一个元$$能同时整除$$，这个元$$叫做$$的 公因子 。如果公因子$$能被每个公因子整除，那么这个$$叫做 最大公因子 。

定义28（互素） 一列数的最大公因子是单位，那称这一列数 互素 。

定义29（主理想环） 如果整环$$的每个理想都是主理想，那么称$$是 主理想环 。

主理想环有个很重要的性质：在主理想环中构造一个序列$$，其中后项一定是前项的真因子，那么这个序列长度有限。而且一个主理想环一定是唯一分解环。

定义30（欧氏环） 一个满足下列性质的整环$$叫做 欧氏环 ：

1. 有一个从$$的非零元所组成的集合到自然数集合的映射$$存在

2. 对于$$中一个非零元$$，$$中任何元$$都可写成 $$ 的形式，且有：$$或$$

所有欧氏环都是主理想环，于是也是唯一分解环。而且一个域$$上的一元多项式环$$是一个欧氏环。

定义31（本原多项式） $$的一个元$$叫做本原多项式，假如$$系数的最大公因子是单位。

如果有$$，那么$$是本原多项式，当且仅当$$是本原多项式。

定义32（多项式的根） $$的元$$叫做$$的多项式$$的一个 根 ，当且仅当$$

定义33（多项式的重根） $$的元$$叫做$$的多项式$$的一个 $$重根 ，假如$$能被$$整除，其中$$大于1.

定义34（多项式的导数） 对于多项式 $$ 其导数为 $$

第五章：扩域

定义35（扩域） 一个域$$叫做一个域$$的 扩域 ，当$$是$$的子域

例如：实数域是有理数域的扩域，复数域是实数域的扩域。

事实上，令$$是一个域，如果$$的特征是无穷大，那么它含有一个和有理数域同构的子域；如果$$的特征是素数$$，那么它含一个和$$同构的子域，其中$$是整数环，$$是由$$生成的主理想。

定义36（素域） 一个域叫做一个 素域 ，假如它不含任何真子域。

定义37（单扩域） 添加一个元素$$于域$$中所得的扩域$$叫做$$的一个单扩域

定义38（代数元） 如果对于域$$中的一个元素$$，$$中存在不全为零的元$$，使得： $$ 那么$$叫做 代数元 。如果这样的$$不存在，$$就叫做 超越元 。

代数数就是整数环上的代数元。

定义39（极小多项式） $$中满足$$的次数最低的多项式 $$ 叫做$$在$$上的 极小多项式 ，$$叫做$$在$$上的 次数

定义40（代数扩域） 如果域$$的一个扩域$$的每一个元都是$$的代数元，那么$$叫做$$的 代数扩域（扩张） 。

假如$$是$$的扩域，那么$$可以视作是$$上的一个向量空间（对于$$的加法和$$的乘法）。也就是说，对于任意$$上的元素$$ ，存在一组来自于$$的基，使$$可以被那些基线性表出，而表示的基的各项系数都在$$内。

例如：复数域是实数域的扩域，而复数域的“基”就是$$和$$

定义41（有限扩域，扩域的次数） 如果域$$的一个扩域$$作为$$上的向量空间的维数为$$，那么$$称作扩域$$在$$上的 次数 ，记作$$.此时$$叫做$$的一个 有限扩域 。

若有 $$ 则有 $$

定义42（多项式的分裂域/根域） 域$$的一个扩域$$叫做$$的$$次多项式$$在$$上的一个 分裂域（也叫根域） ，如果：

1. 在$$中，$$可以分解为一次因子的积 $$

2. 在一个比$$小的域中，$$不能被这样分解。

有： $$ ---

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