抽象代数定义整理：第二弹
环为什么叫做环？
第三章 环与域
定义1（加群） .一个交换群叫做加群，当这个群的代数运算叫做”加法“，并用符号\(+\)表示。
定义2（环） .一个集合\(R\)叫做一个环，当：
- \(R\)是一个加群，即\(R\)对一个叫加法的代数运算作成一个交换群
- \(R\)对另一个叫做乘法的代数运算封闭
- 这个乘法适合结合律
- 这里的加法和乘法适合左右分配律
例如：全体整数作成的集合对普通加法和乘法构成一个环。需要注意的是，环的定义中的乘法并不总满足交换律。
定义3（交换环） .一个环\(R\)被称作交换环，当： \[ \forall a,b\in R,ab=ba \] 定义4（环的单位元） 如果一个环\(R\)中存在一个元素\(e\),使得 \[ \forall a\in R,ea=ae=a \] 那么这个\(e\)叫做环\(R\)的单位元。环并不总有单位元。
例如：全体偶数对普通加法和普通乘法作成环，但是没有单位元。
定义5（零因子） .如果在一个环里，\(a\neq0,b\neq0\)但是\(ab=0\)，那么\(a\)是环中的一个左零因子，\(b\)是环中的一个右零因子。
例如：对于所有形如\(\begin{pmatrix}x&0\\y&0\\\end{pmatrix}\)的矩阵，对普通矩阵加法和普通矩阵乘法构成的环而言，有： \[ \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 &0\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 &0\\ \end{pmatrix} \] 于是\(\begin{pmatrix}1 & 0\\0 &0\\\end{pmatrix}\)是一个左零因子，\(\begin{pmatrix}0 & 0\\1 & 0\\\end{pmatrix}\)是一个右零因子。
在一个没有零因子的环中两个消去律都成立，并且如果有任意一个消去律成立，就没有零因子。
定义6（整环） 符合以下性质的环\(R\)叫做整环：
- 乘法适合交换律
- \(R\)有单位元\(1\)
- \(R\)没有零因子
定义7（除环） 符合以下性质的环\(R\)叫做除环：
- \(R\)至少包含一个不为\(0\)的元
- \(R\)有单位元
- \(R\)的每一个不为\(0\)的元有一个逆元
显然，除环没有零因子，而且除环中的元素（除了0）对于乘法来说构成群。在一个除环中，只要\(a\neq 0\),我们就能拿\(a\)去除任意一个元\(b\)，这就是除环名字的来历。
定义8（域） 一个交换除环叫做一个域。
定义9（环的特征） 一个无零因子环\(R\)的非零元的相同的（对于加法来说）的阶叫做环的特征。
环的特征如果有限，那么它一定是个素数。
定义10（子环） 一个环\(R\)的子集\(S\)如果对\(R\)的代数运算也作成一个环，那么它叫做\(R\)的子环。
定义11（多项式） 假设\(R_0\)是一个有单位元的交换环，\(R\)是\(R_0\)的子环，且包含\(R_0\)的单位元。我们在\(R_0\)中取出一个元\(x\)。一个可以写成 \[ a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n \] 的\(R_0\)的元叫做\(R\)上的\(x\)的多项式。
定义12（多项式环） 我们把所有\(R\)上\(x\)的多项式放在一个集合中，叫做\(R[x]\)，那么\(R[x]\)叫做\(R\)上\(x\)的多项式环。
定义13（未定元，次数） \(R_0\)的一个元\(x\)叫做\(R\)上的一个未定元，如果\(R\)中不存在不全为零的\(a_0,a_1,a_2,\cdots,a_n\)，使得 \[ a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n=0 \] \(R\)上的一个未定元\(x\)的一元多项式只能用一种方法写成 \[ a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n ,a_n\neq0 \] 的形式。其中\(n\)叫做多项式的次数。
定义14（无关未定元） \(R_0\)上的\(n\)个元\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)叫做\(R\)上的无关未定元，假如任何一个\(R\)上\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)的多项式都不为零，除非系数全为零。
定义15（理想） 环\(R\)的一个子环\({\mathfrak A}\)叫做一个 理想子环，简称理想 ，当：
- \(a,b\in{\mathfrak A}\to a-b\in {\mathfrak A}\)
- \(a\in{\mathfrak A},r\in R\to ra,ar\in{\mathfrak A}\)
一个环有两个平凡的理想，分别的只含零元的零理想、R自己（单位理想）
定义16（主理想） 给定一个环\(R\)，取其中的一个元素\(a\)，利用\(a\)作成一个集合\({\mathfrak A}\),其中包含所有形如： \[ (x_1ay_1+\cdots+x_may_m)+sa+st+na \] （其中\(x,y,s,t\in R\)，\(n\)是整数）形式的元。那么\({\mathfrak A}\)是含有\(a\)的最小理想，叫做由\(a\)生成的 主理想 ，用\((a)\)表示。
特别地：
- 如果\(R\)是交换环，\((a)\)的元都可以写成\(ra+na\)的形式。其中\(r\in R,n\)是整数
- 如果\(R\)有单位元，\((a)\)的元都可以写成\(\sum x_iay_i\)的形式。
- 如果\(R\)既是交换环由于单位元，那么\((a)\)都可以写成\(ra\)的形式。
定义17（生成理想） \({\mathfrak A}\)叫做由\(a_1,a_2,\cdots,a_n\) 生成的理想 ，用\((a_1,a_2,\cdots,a_n)\)来表示。\({\mathfrak A}\)包含所有可以写成 \[ s_1+s_2+\cdots+s_n(s_1\in(a_i)) \] 的元。
定义18（剩余类环） 给定一个环\(R\)，\({\mathfrak A}\)是它的一个理想。就加法来看，\({\mathfrak A}\)是\(R\)的不变子群，这样\({\mathfrak A}\)的陪集 \[ [a],[b],\cdots \] 作成\(R\)的一个分类，我们把这些类叫做模\({\mathfrak A}\)的剩余类，\(\bar{R}\)是所有模\({\mathfrak A}\)的剩余类组成的集合，它也是一个环，我们称其为 剩余类环 ，记作： \[ R/{\mathfrak A} \]
事实上，\(R\)和\(\bar{R}\)同态。
定义19（最大理想） 一个环\(R\)的一个不等于\(R\)的理想\({\mathfrak A}\)叫做 最大理想 ，当除了\(R\)和\({\mathfrak A}\)以外，没有包含\({\mathfrak A}\)的理想。
最大理想有时候也叫做极大理想。如果\(R\)是有单位元的交换环，\({\mathfrak A}\)是\(R\)的理想，那么\(R/{\mathfrak A}\)是一个域等价于\({\mathfrak A}\)是最大理想。
定义20（商域） 一个域\(Q\)叫做一个环\(R\)的 商域 ，假如\(Q\)包含\(R\)，并且\(Q\)恰好由 \[ \frac{a}{b}\ \ (a,b\in R,b\neq 0) \] 组成。
第四章 整环里的因子分解
定理1（整数环上唯一分解定理） 一个整数可以唯一地写成若干个素数的乘积。
定义21（整除,因子） 我们说整环\(I\)的一个元\(a\)可以被整环\(I\)中的另一个元\(b\) 整除 ，当能在\(I\)中找出一个元\(c\)，使得 \[ a=bc \] 如果\(a\)能被\(b\)整除，记作\(b|a\)，我们说\(b\)是\(a\)的 因子。
定义22（单位，相伴元） 整环\(I\)的一个元\(\varepsilon\)叫做\(I\)的一个 单位 ，当\(\varepsilon\)是有逆元的元。\(b\)叫做\(a\)的 相伴元 ，假如 \[ b=\varepsilon a \]
例如，整数环中有两个单位，分别是\(1\)和\(-1\)；整复数环中有四个单位，分别是\(\pm 1\),\(\pm i\)。显然，单位的乘积、单位的逆元也是单位。
定义23（平凡因子、真因子） 单位和\(a\)的相伴元叫做\(a\)的 平凡因子 ，\(a\)的其它因子叫做\(a\)的 真因子 。
定义24（素元） 一个整环\(I\)的一个既不是零元、也不是单位、还没有真因子的元\(p\)叫做 素元 。
这样的话，单位元和素元的积也是素元。
定义25（唯一分解） 我们说一个整环\(I\)的一个元\(a\)在\(I\)里有 唯一分解 ，假如：
- \(a=p_1p_2\cdots p_r\)，其中\(p_i\)是素元
- 若同时\(a=q_1q_2\cdots q_s\)，其中\(q\)是素元，那么\(r=s\)，并且我们可以把\(q_i\)的次序调换一下，使得\(\forall i,q_i=p_i\varepsilon\)
一个整环的泠鸢和单位显然是没有唯一分解的，但是其实不是零元也不是单位的元也不一定有唯一分解，例如在环\(I=\{a+\sqrt{3}bi|a,b\in {\mathbb Z}\}\)中的元\(4\)，有： \[ 4=2\times2=(1+\sqrt{3}i)\times(1-\sqrt{3}i) \]
定义26（唯一分解环） 如果一个整环\(I\)的每一个不是零元也不是单位的元都能唯一分解，那么\(I\)叫做 唯一分解环 。
定义27（公因子，最大公因子） 如果一个元\(c\)能同时整除\(a_1,a_2,\cdots,a_n\)，这个元\(c\)叫做\(a_1,a_2,\cdots,a_n\)的 公因子 。如果公因子\(d\)能被每个公因子整除，那么这个\(d\)叫做 最大公因子 。
定义28（互素） 一列数的最大公因子是单位，那称这一列数 互素 。
定义29（主理想环） 如果整环\(I\)的每个理想都是主理想，那么称\(I\)是 主理想环 。
主理想环有个很重要的性质：在主理想环中构造一个序列\(a_1,a_2,\cdots,a_n\)，其中后项一定是前项的真因子，那么这个序列长度有限。而且一个主理想环一定是唯一分解环。
定义30（欧氏环） 一个满足下列性质的整环\(I\)叫做 欧氏环 ：
有一个从\(I\)的非零元所组成的集合到自然数集合的映射\(\phi\)存在
对于\(I\)中一个非零元\(a\)，\(I\)中任何元\(b\)都可写成 \[ b=qa+r\ \ (q,r\in I) \] 的形式，且有：\(r=0\)或\(\phi(r)<\phi(a)\)
所有欧氏环都是主理想环，于是也是唯一分解环。而且一个域\(F\)上的一元多项式环\(F[x]\)是一个欧氏环。
定义31（本原多项式） \(I[x]\)的一个元\(f(x)\)叫做本原多项式，假如\(f(x)\)系数的最大公因子是单位。
如果有\(f(x)=g(x)h(x)\)，那么\(f(x)\)是本原多项式，当且仅当\(g(x),h(x)\)是本原多项式。
定义32（多项式的根） \(I\)的元\(a\)叫做\(I[x]\)的多项式\(f(x)\)的一个 根 ，当且仅当\(f(a)=0\)
定义33（多项式的重根） \(I\)的元\(a\)叫做\(I[x]\)的多项式\(f(x)\)的一个 \(k\)重根 ，假如\(f(x)\)能被\((x-a)^k\)整除，其中\(k\)大于1.
定义34（多项式的导数） 对于多项式 \[ f(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i \] 其导数为 \[ f'(x)=\sum_{i=1}^{n}ia_ix^{i-1} \]
第五章：扩域
定义35（扩域） 一个域\(E\)叫做一个域\(F\)的 扩域 ，当\(F\)是\(E\)的子域
例如：实数域是有理数域的扩域，复数域是实数域的扩域。
事实上，令\(E\)是一个域，如果\(E\)的特征是无穷大，那么它含有一个和有理数域同构的子域；如果\(E\)的特征是素数\(p\)，那么它含一个和\(R/(p)\)同构的子域，其中\(R\)是整数环，\((p)\)是由\(p\)生成的主理想。
定义36（素域） 一个域叫做一个 素域 ，假如它不含任何真子域。
定义37（单扩域） 添加一个元素\(\alpha\)于域\(F\)中所得的扩域\(F(\alpha)\)叫做\(F\)的一个单扩域
定义38（代数元） 如果对于域\(F\)中的一个元素\(\alpha\)，\(F\)中存在不全为零的元\(a_1,\cdots,a_n\)，使得： \[ a_0+a_1\alpha+a_2\alpha+\cdots+a_n\alpha^n=0 \] 那么\(\alpha\)叫做 代数元 。如果这样的\(a_1,\cdots,a_n\)不存在，\(\alpha\)就叫做 超越元 。
代数数就是整数环上的代数元。
定义39（极小多项式） \(F[x]\)中满足\(p(\alpha)=0\)的次数最低的多项式 \[ p(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0 \] 叫做\(\alpha\)在\(F\)上的 极小多项式 ，\(n\)叫做\(\alpha\)在\(F\)上的 次数
定义40（代数扩域） 如果域\(F\)的一个扩域\(E\)的每一个元都是\(F\)的代数元，那么\(E\)叫做\(F\)的 代数扩域（扩张） 。
假如\(K\)是\(F\)的扩域，那么\(K\)可以视作是\(F\)上的一个向量空间（对于\(K\)的加法和\(F\times K\to K\)的乘法）。也就是说，对于任意\(K\)上的元素\(\alpha\) ，存在一组来自于\(K\)的基，使\(\alpha\)可以被那些基线性表出，而表示的基的各项系数都在\(F\)内。
例如：复数域是实数域的扩域，而复数域的“基”就是\(1\)和\(i\)
定义41（有限扩域，扩域的次数） 如果域\(F\)的一个扩域\(E\)作为\(F\)上的向量空间的维数为\(n\)，那么\(n\)称作扩域\(E\)在\(F\)上的 次数 ，记作\((E:F)=n\).此时\(E\)叫做\(F\)的一个 有限扩域 。
若有 \[ F\subset I\subset E \] 则有 \[ (E:F)=(E:I)(I:F) \]
定义42（多项式的分裂域/根域） 域\(F\)的一个扩域\(E\)叫做\(F[x]\)的\(n\)次多项式\(f(x)\)在\(F\)上的一个 分裂域（也叫根域） ，如果：
在\(E[x]\)中，\(f(x)\)可以分解为一次因子的积 \[ f(x)=a_n(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_n) \]
在一个比\(E\)小的域中，\(f(x)\)不能被这样分解。
有： \[ E=F(\alpha_1,\alpha_2\cdots,\alpha_n) \]