抽象代数定义整理：第一弹
抽象代数课程概念繁杂，而且很多概念都使用了非常非常基础的字眼（例如“群”group，不觉得这是一个在日常生活中很基础的字吗？）因此，如果对基础概念不了如指掌，做题的时候很可能连题目也看不懂。本文整理一下抽象代数里面的概念，附带很有限的批注和定理，以供速查使用。
基本概念
定义 1(代数运算) . 一个\(A\times B\)到\(D\)的映射叫做一个\(A\times B\)到\(D\) 的代数运算。其中\(A^n\)到\(A\)的代数运算叫做\(A\)上的\(n\)元 运算。
例：定义\(A=\mathbb{Z},B=\{x|x\in \mathbb{Z}\ \&\ x\neq 0\},D=\mathbb{Q}\),则除法： \[ (a,b)\to\frac ab = a/b \] 是一个\(A\times B\)到\(D\)的代数运算。但是除法并不是\(\mathbb{Q}\)上的二元运算。
定义 2 (结合律). 我们说一个\(A\)上的代数运算\(\circ\)适合结合律， 假如对于\(A\)中的任意三个元\(a,b,c\)，都有 \[ (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c) \] 其中\(a,b,c\)不一定不相同。
定义 3 (连算). 假如对于\(A\)的不少于\(2\)个固定的元\(a_1,a_2,\cdots,a_n\)，对于下列的符号 \[ a_1\circ a_2 \circ \cdots a_n \] 的任意一种加括号的方式\(\pi_i(a_1\circ a_2 \circ \cdots a_n)\)都相等， 那么我们就把这些所有的\(\pi_i\)用 \[ a_1\circ a_2 \circ \cdots a_n \] 来表示， 叫做连算。
事实上，如果\(\circ\)适合结合律，那么连算就存在。
定义 4 (交换律). 我们说一个\(A\times A\)到\(D\)的代数运算\(\circ\)适合交换律， 假如对于\(A\)上的任意两个元\(a,b\)，有： \[ a\circ b=b\circ a \]
事实上，如果\(\circ\)同时适合交换律和结合律，那么连算式中 的元顺序就可以任意交换。
定义 5 (分配律). 对于\(A\)和\(B\)
\(\bigotimes\)是一个\(B\times A\)到\(A\)的代数运算。
\(\bigoplus\)是一个\(A\)的代数运算。
假如对于\(B\)的任意\(b\)，\(A\)的任意\(a_1,a_2\)来说：
有左分配律：假如 \[ b\bigotimes(a_1\bigoplus a_2)=(b\bigotimes a_1)\bigoplus(b\bigotimes a_2) \]
有右分配律：假如 \[ (a_1\bigoplus a_2)\bigotimes b=(a_1 \bigotimes b)\bigoplus(a_2 \bigotimes b ) \]
定义 6 (满射). 若是在一个集合\(A\)到\(\bar{A}\)的映射\(\phi\)下，\(\bar{A}\)的 每一个元都至少是\(A\)中某一个元的象，那么\(\phi\)叫做一个\(A\)到\(\bar{A}\)的 满射。
例如，\(f(x)=\sin(x)\)就不是一个\({\mathbb R}\to {\mathbb R}\)的满射，因为不存在\(x\in \mathbb{R},f(x)=2\) 但是，\(f(x)=\ln(x)\)就是一个\({\mathbb R}\to {\mathbb R}\)的满射。
定义 7 (单射). 一个集合\(A\)到\(\bar{A}\)的映射\(\phi\)，假如 \[ a\neq b\to \bar{a}\neq \bar{b} \] 那么\(\phi\)是一个单射。
例如，\(f(x)=x^2\)就不是一个\({\mathbb R}\to {\mathbb R}\)的单射，因为\(1\neq -1\)但是\(f(1)=f(-1)\). 但是，\(f(x)=e^x\)就是一个\({\mathbb R}\to {\mathbb R}\)的单射。
定义 8(一一映射) . 如果集合\(A\)到\(\bar{A}\)的映射\(\phi\)既是满射又是单射，那么它就是一一映射。 一一映射的逆是一个\(\bar{A}\to A\)的一一映射，用\(\phi^{-1}\)表示。
例如，\(f(x)=x^3\)就是一个\({\mathbb R}\to {\mathbb R}\)的一一映射。
定义 9 (变换). 一个\(A\to A\)的映射叫做变换。
定义 10 (同态映射). 一个集合\(A\)到\(\bar{A}\)的映射\(\phi\)叫做对于代数运算 \(\circ\)和\(\bar{\circ}\)的同态映射，假如在\(\phi\)之下， 对于\(\forall a,b \in A\)，只要 \[ a\to \bar{a},b\to \bar{b} \] 就有。 \[ a\circ b\to \bar{a}\bar{\circ}\bar{b} \] 如果\(\phi\)还是个满射，那么就叫做同态满射。
定义 11 (同构映射). 如果一个同态满射还是一一映射，那么它就是同构映射。 如果\(A\)和\(\bar{A}\)同构，记作： \[ A\cong \bar{A} \]
事实上，如果对于\(\circ\)和\(\bar{\circ}\)来说，\(A\)和\(\bar{A}\)同构， 那么我们可以说，\(A\)和\(\bar{A}\)这两个集合对于这两个运算来说除了名字 以外没有区别。
定义 12 (自同构). 对于\(\circ\)和\(\circ\)来说的一个\(A\to A\)的同构映射称为一个对于\(\circ\)来说的\(A\)的自同构。
定义 13 (关系). 一个\(A\times A\)到\(\{T,F\}\)的映射\(R\)称作\(A\)的元 之间的一个关系。如果\(R(a,b)=T\)，那么称\(A\)和\(B\)符合 这个关系，记作：\(aRb\)
定义 14 (等价关系). 如果关系\(\sim\)满足以下三点：
\(\forall a\in A,a\sim a\)
\(\forall a,b\in A,a\sim b\to b\sim a\)
\(\forall a,b,c\in A,a\sim b\wedge b\sim c\to a\sim c\)
那么称这个关系为等价关系。
常见的等价关系有：等于、同余、矩阵相似、矩阵合同等。
定义 15(分类) . 如果把集合\(A\)分成若干个称作类的子集，使得A的每个元属于且仅属于一个 类，那么这些类的全体叫做集合\(A\)的一个分类。
集合的一个分类决定了集合的元之间的一个等价关系。 集合的元之间的一个等价关系决定了集合的一个分类。
定义 16 (代表和代表团). 假如有一个集合的一个分类，那么一个类里面的任意一个元 叫做这个类的一个代表，由每个类的一个代表组成的集合叫做这个集合 的代表团。
群论
定义 17 (群的第一定义). 一个不空集合\(G\)和一个叫做乘法的代数运算组成的结构叫做一个群，如果：
*\(\forall a,b\in G,ab\in G\)
\(\forall a,b,c\in G,a(bc)=(ab)c\)
\(\forall a,b \in G,\exists x,y\in G\ {\mathbf s.t.} ax=b\wedge ya=b\)
定义 18 (群的第二定义). 一个不空集合\(G\)和一个叫做乘法的代数运算组成的结构叫做一个群，如果：
\(\forall a,b\in G,ab\in G\)
\(\forall a,b,c\in G,a(bc)=(ab)c\)
\(\exists e\in G ,\forall a\in G,ea=a\),这个\(e\)叫做左单位元
\(\forall a\in G, \exists a^{-1}\in G,a^{-1}a=e\)
定义 19 (群的阶). 一个元素有限的群叫做有限群，一个元素无限的群叫做无限群。 有限群元的个数叫做群的阶。
定义 20 (交换群). 如果\(\forall a,b\in G,ab=ba\)，那么群\((G,\cdot)\)称为交换群，也叫阿贝尔群。
定义 21 (单位元). 一个群\(G\)的唯一能使 \[ ea=ae=e \] 的元叫做群\(G\)的单位元。
定义 22 (逆元). 对于群\(G\)的每一个元\(a\)，\(G\)中存在唯一的一个元\(a^{-1}\)， 使得 \[ a^{-1}a=aa^{-1}=e \] 这个\(a^{-1}\)叫做群\(G\)中元素\(a\)的逆元。
定义 23 (群中元素的阶）. 对于群\(G\)中的一个元素\(a\),能够使得 \[a^m=e\] 的最小的正整数\(m\)称作\(G\)中元素\(a\)的阶。如果 不存在这样的\(m\)，那么称元素\(a\)的阶为无穷大。
例如：
对于群\((\mathbb{R}+,\times)\),\(1\)的阶为\(1\)，其余每个元素的阶为\(\infty\).
对于群\((\{x|x^3=1,x\in \mathbb{C}\},\times)\),\(1\)的阶为\(1\)，其余元素的阶为\(3\).
定理 1 (消去律). 一个群的乘法适合消去律： \[ \begin{cases} ax=ax' \to x=x'\\ ya=y'a \to y=y'\\ \end{cases} \]
定义 24 (有限群的另一定义). 一个乘法和一个有限集合构成一个群，假如"封闭性"、"结合律"和"消去律"能被满足。
定义 25 (变换群). 首先我们用一种特殊的记法来表示变换： \[ \tau : a\to a'=a^\tau \] 我们把一个集合的所有变换放到一个集合里： \[ S=\{\tau,\lambda,\mu,\cdots\} \] 看这个集合中的两个元\(\tau,\lambda\)： \[ t:a\to a^\tau,\lambda:a\to a^\lambda \] 于是给了一个元\(a\)，我们可以得出一个唯一的元\((a^\tau)^\lambda\). 我们规定变换的乘积： \[ \tau\lambda : a\to (a^\tau)^\lambda=a^{\tau\lambda} \] 那么一个集合\(A\)的若干个一一变换对于上述规定的乘法作成的群叫做\(A\)的一个变换群。
事实上，任何一个群都和一个变换群同构，任意一个抽象的群都能在变换群中找到一个具体的例子。
定义 26 (置换). 一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换。
定义 27(对称群) . 一个包含\(n\)个元的集合的全体置换作成的群叫做\(n\)次对称群，记作：\(S_n\).
定义 28 (\(k\)-循环置换). \(S_n\)中的一个把\(a_{i_1}\)变到\(a_{i_2}\),把\(a_{i_2}\)变到\(a_{i_3}\),\(\cdots\) ,把\(a_{i_k}\)变到\(a_{i_1}\)，而使其它元不变的置换，叫做\(k\)-循环置换。这样的 循环置换可以用以下\(k\)个符号同时表示： \[ (i_1i_2\cdots i_k),(i_2i_3\cdots i_ki_1),\cdots (i_ki_1\cdots i_{k-1}) \]
事实上，每个\(n\)元置换\(\pi\)都能写成若干个没有重复数字的循环置换的乘积。 事实上，每个有限群都和一个置换群同构。
定义 29 (循环群). 如果一个群\(G\)的每一个元都是其中某一个固定元\(a\)的乘方，那么 我们把\(G\)叫做循环群，并用符号\(G=(a)\)来表示，其中\(a\)叫做\(G\)的生成元。
其实\(G\)的构造完全由\(a\)的阶数\(n\)决定。如果有限，那么\(G\)同构于整数加群，否则 同构于模\(n\)剩余类加群。
定义 30 (子群). 一个群\(G\)的一个子集\(H\)叫做\(G\)的一个子群，假如 \(H\)对于\(G\)的乘法来说也构成一个群。
定义 31 (陪集). 对于一个群\(G\)和它的一个子群\(H\),我们规定一个关系\(\sim\): \[ a\sim b \leftrightarrow ab^{-1}\in H \] 那么由上述等价关系\(\sim\)所决定的类叫做子群\(H\)的右陪集，记作： \(Ha\)，它刚好包含所有能写成 \(ha (h\in H)\) 的\(G\)的元。
如果把等价关系的定义换成： \[ a\sim b \leftrightarrow b^{-1}a\in H \] 包含元\(a\)的陪集叫做左陪集，用\(aH\)表示。
定义 32 (指数). 一个群\(G\)的一个子群\(H\)的右陪集或左陪集（事实上，这俩一定相等）的个数 叫做\(H\)在\(G\)里的指数。
定义 33 (不变子群). 一个群\(G\)的一个子群\(N\)叫做\(G\)的不变子群，有：\(\forall a\in G,Na=aN\)
一个群\(G\)的一个子群\(N\)是不变子群的充分必要条件是：\(\forall a\in G,n\in N \to ana^{-1}\in N\)
定义 34 (中心). 如果\(N\)包含\(G\)中所有有以下性质的元\(n\): \[ \forall a\in G,na=an \] 那么\(N\)是\(G\)的一个不变子群。这个不变子群叫做中心。
简言之：中心和\(G\)的每个元素可交换。
定义 35 (商群). 一个群\(G\)的一个不变子群\(N\)的陪集作成的集合\(S\)对于集合乘法构成一个群， 这个群叫做商群，记作\(G/N\).这里的"乘法"，指的是： \((xN)(yN)=(xy)N\)
一个群\(G\)和它的每一个商群同态。
定义 36 (核). 如果\(\phi\)是群\(G\)到\(\bar{G}\)的同态满射，那么\(\bar{G}\) 的单位元\(\bar{e}\)在\(\phi\)下的所有逆象称为同态满射\(\phi\)的核。